Demostración del teorema de uniformización de las curvas elípticas (un ejercicio de Silverman's Advanced Topics on Elliptic Curves )

Question

En Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves de Silverman hay dos demostraciones del Teorema de Uniformización para las Curvas Elípticas (Dice que, dada una Curva Elíptica $E$ hay un único entramado tal que $E$ es su curva elíptica asociada).

La primera prueba utiliza un montón de temas avanzados en formas modulares, pero me interesa la segunda prueba. Se deja como ejercicio al final del primer capítulo y parece que sólo utiliza instrumentos elementales.

Hay cuatro pasos en esta prueba, necesito ayuda para resolver lo siguiente:

Definir $$j:\mathbb{H}/SL_2(\mathbb{Z}) \longrightarrow \mathbb{C}$$ como la función que envía $\tau \in \mathbb{H}/SL_2(\mathbb{Z})$ en el $j$ -invariante del toro $\mathbb{C}/\Lambda_{\tau}$ , donde $\Lambda_{\tau}$ es la red $\mathbb{Z}+\tau\mathbb{Z} \subset \mathbb{C}$ .

Dejemos que $j_0 \in \mathbb{C}$ , $H$ sea un número real positivo, $F_H \subset \mathbb{C}$ el conjunto $\{z \in \mathbb{C} | -\frac{1}{2}<Re(z)<\frac{1}{2}, \, |z|>1, \, Im(z)< H\}$ y $\partial F_H$ su límite con orientación contraria a las agujas del reloj. Supongamos además $j(\tau) \neq j_0$ en $\partial F_H$ .

Demostrar que

$$\lim_{H \rightarrow +\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_{\partial F_H} \frac{j'(\tau)}{j(\tau)-j_0}d\tau=1$$

El autor sugiere utilizar la siguiente propiedad de la función $j$ $$j(\tau)=j(\tau+1)=j(-1/\tau)$$ y su expansión en serie para evaluar la integral, pero no veo cómo esto puede ayudarme a evaluar el límite.

¿Podría alguien ayudarme? ¿Alguna pista o referencia?

Pido disculpas si esta pregunta puede ser muy simple para alguien: ¡Estoy seguro de que se me escapa algo trivial!

Answer 1

No he comprobado los detalles, pero así es como devrait trabajar: el límite $\partial F_H$ puede dividirse en 5 segmentos, a saber, los puntos de $\partial F_H$ que satisfagan:

• (A) $\Re(z)=1/2$ o

• (B) $\Re(z)=-1/2$ o

• (C) $|z|=1$ et $\Re(z)>0$ o

• (D) $|z|=1$ et $\Re(z)\leq 0$ o

• (E) $\Im(z)=H$ .

Ahora puedes calcular la integral de cada pieza:

• Las integrales de (A) y (B) se cancelarán, ya que son idénticas (porque $j(\tau)=j(\tau+1)$ ), pero en direcciones opuestas.

• Las integrales en (C) y (D) se cancelarán, porque si cambias las variables en (D) enviando $\tau$ a $-1/\tau$ (y utilizar el hecho de que $j(\tau)=j(-1/\tau)$ ), entonces se obtiene (C) pero yendo en la dirección opuesta.

Así que queda por calcular la integral sobre (E), y ésta se puede hacer utilizando la expansión en serie de $j(\tau)$ para obtener un resultado que depende de $H$ y luego tomar el límite como $H\to \infty$ .