Supongamos que hay un teorema bien conocido cuya prueba habitual utiliza Axioma de elección. ¿Tratar de probarlo sin Axioma de Elección es inútil? ¿Qué méritos puede tener tal prueba?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
DanV
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Es a menudo inútil no en todos. En primer lugar, permítanme dar un par de razones por qué es útil:
Esto nos da una mejor comprensión de cómo se comporta bien algunos objetos. Por ejemplo, los espacios vectoriales no se comportan bien en general, pero en particular de los casos que se comportan bien (por ejemplo, finitely generados).
Por otro lado, compacto métrica espacios están muy bien educados y muchas de sus propiedades siguen siendo válidos incluso sin el axioma de elección.
Puede darse el caso de que una prueba sin el axioma de elección es mucho más constructivo, y nos permite examinar las características de un objeto que se demostró sólo a existir si el axioma de elección se utiliza.
Un ejemplo que viene a la mente es la compacidad de cerrado y acotado a los subconjuntos de a $\mathbb R$, otro es el uniforme de la continuidad de una función continua de un espacio métrico compacto en un espacio métrico.
Si una prueba falla, nos permite una mejor comprensión de la infinidad de opciones que se necesita para una cierta afirmación. Dependiente de la Elección de Categoría de Baire teorema; Contables de Elección para establecer la equivalencia entre las diferentes propiedades topológicas; etc.
Por otro lado, es un poco inútil tratar de demostrar un teorema sin el axioma de elección si otras partes de la teoría ya la asume. Si usted ya asumir que todo espacio vectorial tiene una base, mostrando que una cierta proposición basándose en esta propiedad tiene sin el axioma de elección es discutible.
Un ejemplo de esto es el ultrafilter teorema que, junto con el Krein-Milman teorema, implica el axioma de elección [4], por lo que si usas estas dos proposiciones no hay ningún uso en evitar la elección más. Es allí.
Independientemente de lo anterior, se debe recordar que no todas las cosas en las matemáticas modernas, son verdaderas en ausencia de elección (es decir, aparte de que el axioma de la elección en sí misma) y, a menudo, la reformulación y la distinción entre definiciones equivalentes es necesario. En aquellos casos en los que uno puede, y debe, hacer la elección es necesario para un resultado en particular.
Por ejemplo, la afirmación "$\mathbb R$ no es un contable de la unión de conjuntos contables" requiere el axioma de elección, pero es comprobable, de una manera mucho más débiles de la declaración, "contables uniones de conjuntos contables son contables".
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