Fórmula asintótica para d (n) / n suma

Question

Yo estaba tratando de mostrar $$\sum_{n \le x} \frac{d(n)}{n} = \frac{1}{2}\log(x)^2 + 2\gamma \log(x) + O(1)$$ where $d(n)$ is the number of divisors of $n$ and $\gamma$ is the Euler constant using the identity $$\sum_{n \le x}(f * g)(n) = \sum_{n \le x} f(n) G\left(\frac{x}{n}\right)$$ where $G(x) = \sum_{n \le x} g(x)$.

Editar yo estaba usando mal $f$,$g$ antes de. Aquí está con diferentes $f$,$g$.

Para $f(n) = \frac{1}{n}$ $g(n) = \frac{1}{n}$ esto da $\sum_{n \le x}\frac{d(n)}{n} = \sum_{a \le x} \sum_{b \le x/a}\frac{1}{ab}=\sum_{a \le x}\frac{1}{a}\left(\log(x/n) + \gamma + O(\frac{n}{x})\right)$ desde $G(x) = \sum_{n \le x} \frac{1}{n} = \log(x) + \gamma + O(\frac{1}{x})$ por Euler suma fórmula. A continuación, aplicar de Euler fórmula de sumación de nuevo para obtener $- \frac{1}{2} \log(x/a)^2 + \gamma \log(x) + O(x^2)$, pero esto es todavía mal.

Yo no puedo ver lo que estoy haciendo mal aquí, así que probablemente es muy simple, yo realmente apreciaría si alguien podría mostrar cómo hacer esto o lo he hecho mal. Muchas gracias.

Answer 1

Comencemos en$$ \sum_{n \leq x} \frac{d(n)}{n} = \sum_{n \leq x} \frac{1}{n} \left( \log \left( \frac{x}{n} \right) + \gamma + O\left( \frac{n}{x}\right) \right).$ $ Proceeding, $$ \begin{eqnarray*} & = & \sum_{n \leq x} \left( \frac{1}{n}(\log x + \gamma) - \frac{\log n}{n} + O\left( \frac{1}{x}\right) \right) \\ & = & (\log x + \gamma)(\log x + \gamma + O(1/x)) + O(1) - \sum_{n \leq x} \frac{\log n}{n} \\ & = & \log^2 x + 2\gamma \log x + O(1) - \sum_{n \leq x} \frac{\log n}{n}. \end {eqnarray *} $$ Dado que$f(x) = \log x / x$ está disminuyendo en gran medida$x$, podemos escribir$$ \sum_{n \leq x} \frac{\log n}{n} = \int_{1}^{x} \frac{\log u}{u} \, du + O(1) = \frac{1}{2}\log^2 x + O(1), $ $ que completa el cálculo.

Answer 2

No creo que$f*g$ en realidad sea$d(n)/n$ en tu caso. Lo que podría ayudar sería escribir

$\sum_{n \le x} \frac{d(n)}{n} = \sum_{n \le x} \sum_{a \, b = n} \frac{1}{n} = \sum_{a \, b \le x} \frac{1}{ab}$