Conjeturo la siguiente desigualdad:
$$\frac{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}}+\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i}}{2} \leq \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}$$ para todos los reales $x_1, x_2, \cdots, x_n > 0$
Soy capaz de probarlo cuando $n=2$ .
Aplicar la desigualdad de la media de la potencia entre el $\frac12$ la media de la potencia y la media aritmética para $\frac{k^2+1}{2}$ y $k$ para obtener lo siguiente. Multiplicar por $x_1$ y que $x_2=kx_1$ para obtener el resultado.
$$\left(\frac{\sqrt{\frac{k^2+1}{2}}+\sqrt{k}}{2}\right)^2 \leq \frac{\frac{k^2+1}{2}+k}{2}$$
$$\left(\sqrt{\frac{k^2+1}{2}}+\sqrt{k}\right)^2 \leq k^2+1+2k$$
$$\sqrt{\frac{k^2+1}{2}}+\sqrt{k} \leq k+1$$
$$\sqrt{\frac{k^2x_1^2+x_1^2}{2}}+\sqrt{kx_1^2} \leq kx_1+x_1$$
$$\sqrt{\frac{x_2^2+x_1^2}{2}}+\sqrt{x_1x_2} \leq x_1+x_2$$
$$\frac{\sqrt{\frac{x_2^2+x_1^2}{2}}+\sqrt{x_1x_2}}{2} \leq \frac{x_1+x_2}{2}$$
No he avanzado mucho con otros $n$ . Intenté usar la desigualdad de la media de la potencia $\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2}{n}} \leq \sqrt[n]{\frac{\sum_{i=1}^n x_i^n}{n}}$ para $n \geq 2$ para que el tipo de radical sea el mismo en ambos lados, pero eso no funcionaría.
La conjetura es mía. ¿Puede alguien probar o refutar para el general $n$ ?
