Demostrar que $(p+q)^m \leq p^m+q^m$

Question

Si $p,q$ son positivas cantidades y $0 \leq m\leq 1$ Demostrar que $$(p+q)^m \leq p^m+q^m$$

Prueba: Para $m=0$, $(p+q)^0=1 < 2= p^0+q^0$

y para $m=1$, $(p+q)^1=p+q =p^1+q^1$.

Así, Por $m=0,1$ la desigualdad es verdadera.Cómo puedo demostrar que la desigualdad también es cierto para $0 < m < 1$.

Por favor, ayudar.

Answer 1

Deje $m=1-n$ donde $n \in [0,1]$. Entonces

$(p+q)^m = (p+q)^{1-n} = p (p+q)^{-n} + q (p+q)^{-n} \leq p p^{-n} + q q^{-n} = p^m + q^m$.