Encuentra $x$, de modo que existan cuatro puntos $A$, $B$, $C$, $D$ en el plano, tal que $$\{|AB|,|BC|,|CD|,|DA|,|AC|,|BD|\}=\{\sin x,\cos x,\tan x,\cot x,\sec x,\csc x \}$$
Hemos resuelto un caso: No puede existir un $x$ tal que $$|AB|=\sin x, |BC|=\cos x, |CD|=\tan x,|DA|=\cot x,|AC|=\sec x,|BD|=\csc x$$
Pero hay $6!-1$ otros casos. Creo que debe haber un método simple para manejarlos a todos.
Pregunta encantadora. Suponiendo que hay un tetraedro $ABCD$ con longitudes de los bordes dadas por $\{\sin(x),\cos(x),\tan(x),\frac{1}{\tan(x)},\frac{1}{\cos(x)},\frac{1}{\sin(x)}\}$, por el determinante de Cayley-Menger, el volumen al cuadrado de dicho tetraedro está dado por (según Mathematica) $$\small\frac{\sin\left(\frac{\pi }{4}-x\right)\sin\left(\frac{\pi }{4}+x\right) }{1152\sin^4(2x)}\Big(\cos(4x)-8\cos(2x)-1\Big) \Big(\cos(6x)+2\cos(4x)-\cos(2x)+30\Big)$$ y dicha expresión, para $x\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$, es igual a cero si $x=\arccos\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)$ o $x=\frac{\pi}{4}.
Se deduce que hay solo dos configuraciones para verificar a través de la desigualdad triangular e la desigualdad de Ptolomeo, bastante sencillo.
Bien hecho. Para un poco más de detalle algebraico, observaré que la ecuación clave se puede expresar como $$ (2 c^2 - 1) (c^2 - c - 1) (c^2 + c - 1) (1 - c^4 + c^6) = 0 $$ donde $c := \cos x$. Claramente, el primer factor tiene raíces $\pm 1/\sqrt{2}$; descartamos el negativo. Los segundo y tercer factores deberían ser familiares para los fanáticos de la Proporción Áurea, contribuyendo raíces $\pm \phi=\pm 1.618\ldots$ y $\pm 1/\phi=\pm 0.618\ldots$; solo $1/\phi$ es viable aquí. El factor final se puede escribir como $1-\cos^4 x \sin^2 x$, que claramente no tiene raíces reales.
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