A menos que yo haya leído este mal, la respuesta es no. Por ejemplo, considere el $k\chi_{[0,\frac{1}{k}]}$. Esta secuencia de funciones converge pointwise a cero en todas partes, excepto en cero, pero converge en el denso de las distribuciones de la delta de Dirac en cero.
Edit: Incluso si asumimos que $v$ $L^1_{loc}$ el resultado todavía no es verdadero. Yo soy la copia de una gran parte de esta respuesta de mi solución a un problema en Rudin Real y el Análisis Complejo. El resultado demostrado aquí es que existe una sucesión de funciones continuas convergente a 0 pointwise $a.e.$, pero convergentes a $1$ en el sentido de que $\langle g_n, \varphi \rangle \to \langle 1, \varphi \rangle$ todos los $\varphi \in C[0,1]$.
Para probar esto, vamos a explotar el hecho de que Riemann
integrales convergen para funciones continuas y, cuando existen,
coincidiendo con Lebesgue integrales. Por lo tanto, es suficiente para mostrar que
podemos producir una secuencia de medidas que corresponden a las sumas de Riemann.
El extremo estándar suma de Riemann de la malla $\frac{1}{n^{2}}$ puede ser
construido mediante la partición de $[0,1]$ en intervalos de longitud de $\frac{1}{n^{n}}$
y, en el punto $\frac{kn^{n-2}}{n^{n}}=\frac{k}{n^{2}}$ $1<k\leq n^{2}$
los intervalos de la colocación de un promedio ponderado de delta de Dirac $\frac{1}{n^{2}}\delta(x-\frac{k}{n^{2}})$
en el punto final. Observe que el hecho de que estamos utilizando extremo de Dirac
medida aquí en realidad no importa ya que las sumas de Riemann de continuo
funciones convergen para cualquier punto arbitrario en el intervalo. Podemos modificar
el ejemplo de arriba ligeramente, de modo que en lugar de utilizar las distribuciones de
utilizamos funciones continuas:
Mantener la misma partición, pero en el intervalo de $[\frac{kn^{n-2}-1}{n^{n}},\frac{k}{n^{2}}]$
dibujar un triángulo (la fórmula explícita para esta función es fácil de
producir y no muy informativo, por lo excluyo) de $0$ a
$2n^{n-2}$ y hacia abajo (con el vértice que se produzcan en el punto medio).
Por lo $g_{n}$ $0$ $[\frac{k}{n^{2}},\frac{k+1}{n^{2}}-\frac{1}{n^{n}}]$
con un gran pico justo antes de cada múltiplo de $\frac{1}{n^{2}}$.
Integración de una función por encima de este intervalo con respecto a la medida
inducida por esta función da $\frac{1}{n^{2}}$ veces de un promedio ponderado de
promedio de la función en estos intervalos. Esto se desprende de la continuidad:
para cualquier fija $f$ existe $a,b\in[\frac{kn^{n-2}-1}{n^{n}},\frac{k}{n^{2}}]$
así que para todos los $x\in[\frac{kn^{n-2}-1}{n^{n}},\frac{k}{n^{2}}]$
$f(a)\leq f(x)\leq f(b).$ $\frac{1}{n^{2}}f(a)\leq\int_{[\frac{kn^{n-2}-1}{n^{n}},\frac{k}{n^{2}}]}g_{n}fdm\leq\frac{1}{n^{2}}f(b)$
y por lo tanto no existe $x_{k}\in[\frac{kn^{n-2}-1}{n^{n}},\frac{k}{n^{2}}]$
así que esta integral es igual a $\frac{1}{n^{2}}f(x_{k})$ por la media
teorema del valor. Por construcción, estas funciones se integran a $1$
(hay $n^{2}$ triángulos cada uno de los cuales integra a $\frac{1}{n^{2}})$.
Podemos ver en la anterior argumento de que para funciones continuas la
funcional $f\to\int fg_{n}dm$ es en el hecho de que un operador el envío de $f$
a una suma de Riemann de la malla $\frac{1}{n^{2}}$. Entonces para cualquier continua
la función de las medidas de $g_{n}dm$ convergen en la debilidad de los$^{*}$ sentido
a $m.$ Todo lo que queda demostrado es que pointwise en casi todas partes,
estas funciones convergen a $0.$
Definir $A_{n}=\{x:g_{n}(x)>0\}$ y observar que $m(A_{n})=\frac{1}{n^{n-2}}$
(hay $n^{2}$conjuntos de medida $\frac{1}{n^{n}}$ que $g_{n}$
es positivo) que es summable. Por el Borel Cantelli Lema $\mu(\{x:g_{n}(x)\neq0\}\mbox{ for infinitely many n})=0$.
De ello se desprende que $g_{n}\to0$.e. $\{m\}$.
