¿Qué es una línea paralela?

Question

Estamos de vectores de aprendizaje en clase y tengo una pregunta acerca de las líneas paralelas y líneas coincidentes. Según la wikipedia una línea paralela es:

Dos líneas en un plano que no se cruzan o toque en un punto que se llaman rectas paralelas.

Pero otra referencia dice

De lado a lado y que tiene la misma distancia continuamente entre ellos.

De acuerdo a la definición anterior, puede tener dos líneas paralelas con una distancia de cero, pero esto se contradice con la primera definición. Así que es?

EDITAR:

Si es la segunda definición, entonces usted puede tener dos líneas que son coincidentes y en paralelo a la derecha?

Answer 1

Es siempre importante, en situaciones como esta, para recordar las palabras inmortales de Humpty Dumpty (a través de Lewis Carroll a Través del espejo):

"Cuando yo uso una palabra, [...] sólo lo que yo quiero que signifique --- ni más ni menos."

De hecho, la Wikipedia de la discusión de "Propiedades Equivalentes" a las Paralelas de Euclides Postulado de notas de los cuatro "común" definiciones del término paralelo: (1) la constante de separación, (2) nunca reunión, (3) los mismos ángulos donde recorrido por algunos de la tercera línea, o (4) mismos ángulos donde cruzó por cualquier tercera línea. (Yo diría que (3) y (4) son ligeramente matizada formas de transmitir la noción común de líneas paralelas "que apuntan en la misma dirección".)

Observar cómo estos cuatro "común" definiciones se aplican a su "distancia cero" (aka, "coincidente") las líneas:

1. Constante de separación tiene ... siempre que permiten que la "separación por distancia cero" cuenta como "separación". (Que también es una opción).
2. Nunca reunión de falla: líneas coincidentes satisfacer todas partes.
3. Mismos ángulos donde recorrido por algunos de la tercera línea contiene: líneas coincidentes van a hacer los ángulos idénticos!
4. Mismos ángulos donde cruzó por cualquier tercera línea contiene: como en 3.

Que sea de 3 a 1 en favor de "la coincidencia de las líneas son paralelas", o un 2-2 decisión dividida; así que la respuesta a su pregunta "¿que es?" es: depende.

---

Personalmente, soy un gran fan de los "nunca " reunión" de la definición de paralelismo; sólo parece el más limpio de la formulación. Número de puntos en común? Cero!!! Limpio y ordenado, mientras que las otras definiciones incluyen un montón de trabajo extra, medición infinitamente muchas distancias o, al menos, un par de ángulos. Pero, doggonit, es tan conveniente en la geometría algebraica a decir "las líneas con la misma pendiente son paralelas", o en álgebra lineal decir "vectores con la misma (o proporcional) de los componentes están en paralelo". Mi favorito trigonométricas diagrama tiene un ingenioso recurso mnemotécnico que "las funciones recíprocas aparecen como segmentos paralelos": $\sin \parallel \csc$$\cos \parallel \sec$; la "misma dirección" interpretación me permite incluir $\tan \parallel \cot$ (y también a $1 \parallel 1$), y mantiene el mnemónico de romper por un tecnicismo en $0^\circ$ $90^\circ$ cuando los pares de estos "paralelo" de los segmentos coinciden. En el último de los casos, siendo un purista acerca de "cero puntos en común" puede ponerse en el camino de lo que es importante acerca de la situación.

El punto es: se puede hacer en el caso de que la coincidencia de las líneas son paralelas, y uno se puede dar el caso de que no lo son. Cada día, los matemáticos usan la palabra "paralelo" en formas que favorecen una opción sobre la otra, y ellos, libremente, cambiar sus mentes, dependiendo del contexto. Lo que ellos no hacen, sin embargo, es dejar a su audiencia adivinando en la materia, la forma Humpty hace a Alice. Si hay posible confusión sobre cualquier definición, un buen matemático da explícito aclaración acerca de "lo que yo elija [la palabra] que significa".

Una forma común de restricción de líneas coincidentes desde el Paralelo del Club es estar muy atentos a utilizar la palabra "distinto" para describir las líneas en cuestión; por eso se ven tantas respuestas aquí haciendo una gran cosa acerca de la palabra. Otra estrategia es, quizás, el uso de frases tales "estrictamente paralelo" ... el último que es similar a la descripción de una empresa de lucro como "estrictamente positivo", porque en algún lugar alguien podría estar haciendo esta versión de su pregunta:

Puede "beneficio" ser cero?

Answer 2

Básicamente, la primera definición de dos distintas líneas son aceptables en tres geometrías sabemos, me.e; Euclidiana, Esférica e Hiperbólica. He hecho la palabra distinta en negrita porque si dos líneas son tales que, entonces, ¿por qué vamos a trabajar? Si se coincide, por lo que tampoco tiene sentidos hablamos de dos líneas (Que son una línea y no queremos que este caso). Así, siempre asumimos que dos líneas son distintos y por eso hablaba acerca de la distancia cero no tiene ningún sentido. En la Geometría, lo que se observó en el interior de Edición no debería suceder. A menos que, en ese caso tenemos nada que hacer con las dos líneas.

Por otra parte sobre el segundo punto anotó: yo quería decir que esto es cierto en la Geometría Euclidiana. Esta definición es absolutamente equivocado en otras dos geometrías. En Hiperbólico, tenemos muchas muchas líneas que son paralelas a sólo una línea asintóticamente. Y Esféricas en uno, no tenemos ningún líneas paralelas!

Answer 3

Las líneas son paralelas si son distintos, no se cruzan, y no divergentes. Si usted puede viajar a lo largo de uno de ellos arbitrariamente lejos, y después de algunos finito distancia, el viaje se hace más aparte, entonces son divergentes, y si no, ellos son paralelos.

Las líneas que no se cruzan "no secante". Todas las líneas paralelas son también no secante, y en 2D en la geometría Euclidiana, todos los que no son secantes son paralelas, pero en 3D o Hyberbolic 2D, no secante líneas no paralelas.

Una curva distinta de la que aún equidistantes de una recta (o alguna otra cosa, como un punto) es Equidistante de la Curva. En la geometría no euclidiana, equidistante de las curvas a las líneas nunca son líneas de sí mismos. En 3D de la geometría euclidiana, que puede ser, pero no podría ser de líneas. Sólo en 2D de la geometría euclidiana son equidistantes curvas de las líneas necesariamente las líneas de sí mismos.

Ahora para los que realmente extraño de bits. Recuerde cómo paralelo se define en términos de movimiento a lo largo de una línea. Que significa ser paralelo tiene una dirección. En la geometría Euclidiana, las líneas paralelas son siempre paralelas en ambas direcciones, pero hiperbólico líneas sólo son paralelas en una sola dirección, y que divergen en la otra dirección. Así que dada una recta y un punto no en esa línea, hay dos líneas paralelas, una en cada dirección.

El siguiente diagrama muestra un Disco de Poincaré modelo del plano Hiperbólico. Los puntos alrededor del borde son "el punto", mientras que los de dentro son puntos reales. Hiperbólico líneas mapa de arcos circulares perpendiculares al borde del disco.

Se conoce la Línea de $\overline{AB}$ y real del punto de $C$. Perpendicular a $\overline{AB}$ a través de$C$$\overline{EF}$, y perpendiculares a que a través de $C$ $\overline{HG}$ que es nonsecant a $\overline{AB}$, pero no en forma paralela a la misma, tenga en cuenta cómo se difieren hasta el infinito en ambas direcciones. $\overline{AB}$ $\overline{AK}$ son paralelas, pero sólo en la dirección de punto ideal $A$, que divergen hacia la $B$. Del mismo modo, $\overline{AB}$ $\overline{BJ}$ son paralelas hacia la $B$. El discontinua arc $\overset{\displaystyle\frown} {BCA}$ es en realidad una equidistante de la curva, no una línea, tenga en cuenta cómo se encuentra con el borde de la dist en un no-ángulo derecho.

Answer 4

La segunda definición-la equidistante de la propiedad, es la definición con la que casi todo el mundo está familiarizado... Euclides 5º postulado.

Sin embargo, en la geometría no Euclidiana, las líneas paralelas no son necesariamente equidistante a todos los puntos correspondientes. Así que la primera definición es una definición más generalizada.

En ambas definiciones, las líneas paralelas no se cruzan. "Asumo yo" esto es lo que se entiende por el "side-by-side" de referencia en la 2ª definición. Desde cualquier línea intersecta a sí misma en una infinidad de puntos, entonces no, usted no puede tener coincidentes y líneas paralelas.