Convergencia de suma sobre enrejado de enteros

Question

¿La suma$$\sum_{z \in \mathbb{Z}^3\setminus \{(0,0,0)\}} \left( \frac{1}{|{\bf x} - {\bf z}|^2} - \frac{1}{|{\bf z}|^2} \right)$ $
converge puntualmente o uniformemente para$\varepsilon < |{\bf x}| < 1-\varepsilon$?

Answer 1

Parece que converge condicionalmente, con la convergencia si suma más de una esfera centrada en el origen y, a continuación, deje que el radio de la esfera de aumentar sin límite. Deje ${\bf x}=(0,0,d)$ ${\bf z}=(x,y,z)$ (lo siento por la reutilización de $x$). A continuación, $$\begin{align}\sum_{z \in \mathbb{Z}^3\setminus \{(0,0,0)\}} \left( \frac{1}{|{\bf x} - {\bf z}|^2} - \frac{1}{|{\bf z}|^2} \right)&=\sum_{z \in \mathbb{Z}^3\setminus \{(0,0,0)\}} \left(\frac{1}{x^2+y^2+(z-d)^2}-\frac{1}{x^2+y^2+z^2}\right) \\ &=\sum_{z \in \mathbb{Z}^3\setminus \{(0,0,0)\}} \frac{(z-d)^2-z^2}{(x^2+y^2+(z-d)^2)(x^2+y^2+z^2)}\\ &=\sum_{z \in \mathbb{Z}^3\setminus \{(0,0,0)\}} \frac{-2dz+d^2}{(x^2+y^2+(z-d)^2)(x^2+y^2+z^2)}\end{align}$$

Ahora hemos de sumar las contribuciones de los puntos de $(x,y,z)$$(x,y,-z)$, por lo que la suma es sobre la mitad superior del espacio de $$\begin{align}&=\sum \frac{-2dz+d^2}{(x^2+y^2+(z-d)^2)(x^2+y^2+z^2)}+\frac{2dz+d^2}{(x^2+y^2+(z+d)^2)(x^2+y^2+z^2)} \\ & =\sum \frac{-8d^2z^2+d^2(x^2+y^2)}{(x^2+y^2+(z-d)^2)(x^2+y^2+(z+d)^2)(x^2+y^2+z^2)}\end{align}$$

Lejos del origen, donde la convergencia es determinado, este se cae al menos tan rápido como $\frac{1}{r^4}$ e hay $r^2$ puntos en una cáscara esférica en un radio determinado, por lo que tenemos una suma de $\frac{1}{r^2}$, que converge.