sobre un conjunto de clubes

Question

Espero que alguien pueda ayudarme con mi pregunta.

Tengo que demostrar que $$C=\{ \alpha < \omega_1 : \alpha \in LIM\text{ and }j\upharpoonright \alpha \times \alpha : \alpha \times \alpha \leftrightarrow \alpha) \}$$ es un club en $\omega_1$ , donde $j : \omega_1 \times \omega_1 \leftrightarrow \omega_1$ .

Hasta ahora lo que he hecho es demostrar que $C$ es cerrado, pero no estoy seguro de que la prueba que he dado esté bien, no sé cómo puedo demostrar que es ilimitado. Pensé que por contradicción era la forma más fácil, pero me quedé atascado en la mitad de mi prueba.Necesito ayuda con esta cosa en particular porque tendré que usarla para otra demostración en la que he estado trabajando.

Answer 1

La prueba de que $C$ está cerrado es sencillo. Supongamos que $\langle\alpha_n:n\in\omega\rangle$ es una secuencia estrictamente creciente en $C$ y que $\alpha=\sup\{\alpha_n:n\in\omega\}$ Entonces $$j[\alpha\times\alpha]=j\left[\bigcup_{n\in\omega}\alpha_n\times\alpha_n\right]=\bigcup_{n\in\omega}j[\alpha_n\times\alpha_n]=\bigcup_{n\in\omega}\alpha_n=\alpha\;,$$ así que $\alpha\in C$ y $C$ está cerrado.

Uno de los enfoques estándar para demostrar que un conjunto es ilimitado funciona aquí. Se empieza con cualquier $\alpha_0\in\omega_1$ ; quiere encontrar un $\alpha\ge\alpha_0$ tal que $j[\alpha\times\alpha]=\alpha$ . Si $j[\alpha_0\times\alpha_0]=\alpha_0$ , estás acabado, por supuesto, pero no puedes contar con eso Si $j[\alpha_0\times\alpha_0]\nsubseteq\alpha_0$ , dejemos que $$\alpha_1=\min\{\alpha\in\omega_1:\alpha_1>\alpha_0\land\alpha_0\subseteq j[\alpha_0\times\alpha_0]\subseteq\alpha\}\;.$$ De nuevo, si $j[\alpha_1\times\alpha_1]=\alpha_1$ estás acabado, pero eso es demasiado esperar. De hecho, ignoraremos la posibilidad y fingiremos que no ocurre; como verás, no hay nada malo en ello. Para cada $n\in\omega$ simplemente deja que $$\alpha_{n+1}=\min\{\alpha\in\omega_1:\alpha_{n+1}>\alpha_n\land\alpha_n\subseteq j[\alpha_n\times\alpha_n]\subseteq\alpha\}\;.$$ El resultado es una secuencia estrictamente creciente $\langle\alpha_n:n\in\omega\rangle$ en $\omega_1$ . Sea $\alpha$ sea el supremum de esta secuencia. Entonces $$j[\alpha\times\alpha]=\bigcup_{n\in\omega}j[\alpha_n\times\alpha_n]\subseteq\bigcup_{n\in\omega}\alpha_{n+1}=\alpha=\bigcup_{n\in\omega}\alpha_n\subseteq\bigcup_{n\in\omega}j[\alpha_{n+1}\times\alpha_{n+1}]=j[\alpha\times\alpha]\;,$$ así que $\alpha\in C$ .

Answer 2

Dejemos que $\alpha<\omega_1$ se le dará. Encontrar un submodelo elemental contable $M\prec H(\theta)$ (para un tamaño suficientemente grande $\theta$ ) que contiene $\alpha$ y $j$ como elementos, entonces es fácil ver que $M\cap\omega_1=\delta\in C$ y $\alpha<\delta$ .

Si no está familiarizado con los submodelos elementales, puede proceder como sigue: Sea $\alpha$ se le dará. Construir recursivamente una secuencia estrictamente creciente $\alpha_n (n\in\omega)$ como sigue: Elija $\alpha_0\in\omega_1$ para que $j[\alpha\times\alpha]\cup j^{-1}[\alpha]\subseteq \alpha_0$ . Supongamos que $\alpha_n$ se ha definido. Sea $\alpha_{n+1}$ sea cualquier ordinal contable de manera que $j[\alpha_n\times\alpha_n]\subset \alpha_{n+1}$ y $ j^{-1}[\alpha_n]\subseteq \alpha_{n+1}\times \alpha_{n+1}$ . Es fácil comprobar que $\sup_n \alpha_n\in C$ y es mayor que $\alpha$ . Así, $C$ no tiene límites.