De la desigualdad. $\frac{1}{16}(a+b+c+d)^3 \geq abc+bcd+cda+dab$

Question

Quiero demostrar la siguiente desigualdad :

$$\frac{1}{16}(a+b+c+d)^3 \geq abc+bcd+cda+dab, $$ $a,b,c,d \in \mathbb{R}_{+} .$

En mi libro, en las respuestas capítulo el autor utiliza AM $\geq$ GM, pero no he alguna idea de cómo puedo usar eso.

Gracias :)

Answer 1

Observe también que:

$$(a+b+c+d)^3 - 16(abc+abd+acd+bcd) = (a+b+c+d)(a+b-c-d)^2 + 4(c-d)^2(a+b) + 4(a-b)^2(c+d) \ge 0$$ O $$(a+b)[(a+b-c-d)^2 + 4(c-d)^2] + (c+d)[(a+b-c-d)^2 + 4(a-b)^2]\ge0$$

De esta manera es sugerido por un amigo mío.

Answer 2

He publicado esta desigualdad en http://www.artofproblemsolving.com/ y he recibido una buena respuesta. Esta respuesta puede comprobarse en el siguiente enlace : http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=51&t=494463 .

Answer 3

Usted necesita demostrar que $$(a + b + c + d)^3 - 16(abc + bcd + cda + dab) \geq 0$$ Basta para mostrar esto en cualquier conjunto de la forma $0 \leq a,b,c,d \leq N$. Por cálculo (la "extrema teorema del valor") la función de $(a + b + c + d)^3 - 16(abc + bcd + cda + dab)$ alcanza su mínimo en algunos $(a,b,c,d)$ en el conjunto de $0 \leq a,b,c,d \leq N$. Me dicen que este mínimo se ha de producirse al $a = b = c = d$.

Escribir $$(a + b + c + d)^3 - 16(abc + bcd + cda + dab) = (a + b + c + d)^3 - 16(a + b)cd - 16(c + d)ab$$ Tenga en cuenta que por AM-GM, tenemos $16(c + d)ab \leq 16(c + d)({a + b \over 2})^2$. Si tuviéramos $a \neq b$, podríamos sustituir $a$$b$${a + b \over 2}$, dejando $c$ $d$ constante, y obtendríamos un valor menor. Así que desde $(a,b,c,d)$ es el mínimo, esto no puede suceder y llegamos a la conclusión de que $a = b$. Por razones similares,$c = d$, la inversión de los roles de los términos de $16(a + b)cd$ $16(c + d)ab$

Luego, escribir $$(a + b + c + d)^3 - 16(abc + bcd + cda + dab) = (a + b + c + d)^3 - 16(b + d)ac - 16 (a + c)bd$$ Then arguing like above gives $b = d$ and $a = c$. Combining the above gives $a = b = c = d$, whereupon $(a + b + c + d)^3 - 16(abc + bcd + cda + dab) = (4a)^3 - 16(4a^3) = 0$. Since this is the minimum, the expression $(a + b + c + d)^3 - 16(abc + bcd + cda + dab)$ es no negativa según sea necesario.