Análisis funcional introductorio con aplicaciones de Erwin Kreyszig, sección 2.7, problema 9

Question

Este es el problema 9 del conjunto de problemas que sigue a la sección 2.7 del libro Análisis funcional introductorio con aplicaciones por Erwine Kryszeg:

Dejemos que $C[0,1]$ denota el conjunto de todas las funciones (de valor real o complejo) definidas y continuas en el intervalo cerrado $[0,1]$ con la norma definida como sigue: $$\Vert x \Vert_{C[0,1]} \colon= \max_{t \in [0,1]} \vert x(t) \vert \, \, \, \forall x \in C[0,1]. $$

Dejemos que $T \colon C[0,1] \to C[0,1]$ se define por $$Tx \colon= \int_{0}^t x(\tau) \, d \tau \, \, \, \forall x \in C[0,1].$$

¿Cuál es la gama de $T$ ?

Es $T$ inyectiva? Y si es así, ¿cuál es la inversa $T^{-1}$ ? Es $T^{-1}$ ¿limitado?

Sé que $T$ está acotado, ya que, dado cualquier $x \in C[0,1]$ tenemos $$ \Vert Tx \Vert_{C[0,1]} = \max_{t\in[0,1]} \vert \int_0^t x(\tau) \, d \tau \vert \leq \max_{t\in[0,1]} (\int_0^t \vert x(\tau) \vert \, d \tau ) = \int_0^1 \vert x(\tau) \vert \, d \tau \leq \int_0^1 \max_{\tau\in[0,1]} \vert x(\tau) \vert \, d \tau = \int_0^1 \Vert x \Vert_{C[0,1]} \, d \tau = \Vert x \Vert_{C[0,1]}.$$

Answer 1

Dejemos que $g$ sea un elemento del rango de $T$ . Entonces existe $f\in C[0,1]$ tal que $g=Tf$ . Como jflipp comentó esto implica que para $t\in[0,1]$ , $g'(t)=\frac{d}{dt}\int_0^t f(\tau)\,d\tau=f(t)$ Esta es una de las versiones del Teorema Fundamental del Cálculo que puedes buscar en tu texto de Apostol. Así, $g$ es continuamente diferenciable en $[0,1]$ (tenga en cuenta el significado especial que tiene en los puntos finales), y $g(0)=0$ .

A la inversa, supongamos que $g$ es continuamente diferenciable en $[0,1]$ y $g(0)=0$ . Entonces para $t\in[0,1]$ , $\int_0^t g'(\tau)\,d\tau=g(t)-g(0)=g(t)$ por otra versión del Teorema Fundamental del Cálculo que puedes buscar en tu texto de Apostol. Así, $g=Tg'$ está en el rango de $T$ .

Así se determina el rango. Para demostrar que $T$ es inyectiva, supongamos que $Tf=0$ . Entonces $0=(Tf)'=f$ .

Porque $T$ es inyectiva, podemos definir $T^{-1}: T(C[0,1])\to C[0,1]$ que viene determinada por la identidad $T(T^{-1}g)=g$ , donde $g$ es continuamente diferenciable y $g(0)=0$ . Como se ha observado anteriormente, para que esto sea cierto se requiere $g'=T^{-1}g$ y, por supuesto, definiendo $T^{-1}g = g'$ produce $T(T^{-1}g))=Tg' = g$ . La falta de límites de $T^{-1}$ se puede ver al considerar $T^{-1}f_n$ para $f_n(t)=t^n$ .