Calcule la norma de un operador$T$

Question

Deje $X = Y = C([0,1], \mathbb{K})$ $\|f \|_X = \| f \|_Y = \|f \|_1 = \int_{[0,1]} | f(t) |dt $ y deje $(Tf)(x) = \int_0^x f(t) dt, \ x \in [0,1], \ f \in X$. Calcular la norma de T.

Me las he arreglado para mostrar que $\|T \| \leq 1$. Por lo que deseo mostrar que $\| T \| \geq 1$. Pero no sé cómo hacerlo, así que me tomé un vistazo a las soluciones, donde se introducen $f_n (x) = (2n - 2n^2x) \mathbb{1}_{[0,1/n]} (x) $ con esta función se las arreglan para mostrar que $1 - 1/n \leq \| Tf_n \|_1 \leq 1$.

Cómo debería ser capaz de "adivinar" una función de $f_n(x)$, a mí me parece que solo viene de arriba o algo, ¿cómo podría venir con esta función, como en una situación crítica como un examen?

La pregunta en sí misma es a partir de un examen anterior, así que supongo que debe ser capaz de "ver" esta función $f_n$ sin mucho esfuerzo.

Answer 1

Es instructivo considerar en primer lugar de qué manera el operador $T$ impactos de la norma de un operador, para ello calculamos, para arbitrario $f \in X$: \begin{align*} \|Tf\| &= \int_{0}^{1} \bigg|\int_{0}^{x} f(t) \text{d} t\bigg| \text{d} x \\ &= \int_{0}^{1} \bigg| \int_{0}^{1} f(t)\theta(t-x) \text{d}t \bigg| \text{d}x \\ &\leqslant \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} |f(t)| \theta(t-x) \text{d}t \text{d}x \\ &= \|(1-t)f\|, \end{align*} donde $\theta$ es el Heaviside theta función. Algunos de los pasos que la manipulación de las integrales anteriores se dejan al lector.

Tenga en cuenta que la desigualdad es una igualdad, precisamente cuando la función de $f$ es o no positivo o negativo.

Por lo tanto vemos que, en la medida que la norma se refiere el operador $T$ sólo multiplica la función de $f$ por la función $(1-t)$. A partir de esto, uno puede argumentar que más que una función se concentra alrededor del punto de $0$, menos que el operador $T$ afecta a la norma de esta función.

La secuencia de $f_{n}$ dado en la respuesta puede ser visto como un intento de encontrar un elemento que está totalmente concentrado en $x = 0$. Esto es donde el indicador de $1_{[0,1/n]}$. El resto de las funciones $f_{n}$ son probablemente una cuestión de experimentación y/o la experiencia de la autora.

Permítanme elaborar un poco sobre cómo uno puede llegar con estas funciones. Estamos buscando una secuencia de funciones que son no negativos, y donde cada función tiene norma $1$, que es el área bajo la curva es igual a $1$. El apoyo de las funciones que deben acercarse al punto de $0$. Una forma en la que uno podría pensar de hacer esto es mediante el dibujo de los triángulos de área constante como se muestra en la siguiente figura.

Uno puede comprobar que las funciones de $f_{n}$ dar con precisión los triángulos dibujados en esta imagen.

Answer 2

Construir sobre la excelente respuesta por parte de la anterior respuesta, me deja completar la parte de la razón por su maestro ha elegido esta función.

Como ha sido demostrado, cualquier secuencia de funciones continuas que converge a un punto de masa en $0$ va a trabajar. En este caso, queremos aproximar el punto de la masa por la función con el tipo de $1_{[0, 1/n]}g_n(x)$. Esta funciones para satisfacer las necesidades de

1. $g_n(0)$ son constantes
2. $g_n(1/n)=0$

Una opción obvia es la función lineal $g_n(x) = 1 - nx$. Ahora, para simplificar el cálculo, su maestro tal vez quiera que $||f_n||_1 = 1$$\int_{0}^{1/n}g_n(x) = \frac{1}{2n}$, y se puede ampliar a $g_n$ por un factor de $2n$, de modo que la norma de $f_n$ es, de hecho,$1$. Ahora queda demostrar que esta función, de hecho, da la identidad.