Calcular

Question

¿Cómo podemos evaluar la siguiente integral?

ps

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Sé básicamente cómo calcular utilizando la sustitución$$\int_0^{1/10}\sum_{k=0}^9 \frac{1}{\sqrt{1+(x+\frac{k}{10})^2}}dx$:
ps
Pero no puedo encontrar una manera de aplicar el resultado a la pregunta.

Answer 1

Hay una mejor manera.

Vamos a probar que:

ps

Y por lo tanto:

ps

Prueba:

Usando la sustitución$$\int_0^s f(x+ks)dx=\int_{ks}^{(k+1)s}f(x)dx \tag1$,
ps
\begin{align} & \int_0^s[f(x)+f(x+s)+\cdots+f(x+(n-1)s)]dx \\ & = \int_0^sf(x)dx+\int_0^sf(x+s)dx+\cdots+\int_0^sf(x+(n-1)s)dx \\ & = \int_0^sf(x)dx+\int_s^{2s}f(x)dx+\cdots+\int_{(n-1)s}^{ns}f(x)dx \\ & = \int_0^{ns}f(x)dx \end{align}

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Con los resultados antes mencionados, su integral se convierte en:
ps
, que es exactamente igual a tu integral dada

Answer 2

Considere$$I_k=\int \frac{dx}{\sqrt{1+(x+\frac{k}{10})^2}}$$ and let $ x + \ frac {k} {10} = \ sinh (y)$, $ dx = \ cosh (y) \, dy$ which make $$I_k=\int dy=y=\sinh^{-1} \left(x+\frac k{10}\right)$$ So,$$J_k=\int_0^{\frac 1{10}} \frac{dx}{\sqrt{1+(x+\frac{k}{10})^2}}=\sinh ^{-1}\left(\frac{k+1}{10}\right)-\sinh ^{-1}\left(\frac{k}{10}\right)$ $, lo que lleva a unos términos muy atractivos.

Estoy seguro de que puedes tomarlo desde aquí.

Answer 3

Ponga$x+\frac k{10}=\sinh u$ (es decir,$dx=\cosh u$), tenemos $$ \begin{align} &{\large\int}_0^{1/10}\sum_{k=0}^9\frac 1{\sqrt{1+\left(x+\frac k{10}\right)^2}}dx\\ &=\sum_{k=0}^9{\large\int}_0^{1/10}\frac 1{\sqrt{1+\left(x+\frac k{10}\right)^2}}dx\\ &=\sum_{k=0}^9{\large\int}_\alpha^\beta\frac 1{\sqrt{1+\sinh^2u}}\;\cosh u\; du &&\scriptsize \text{where }\alpha=\sinh^{-1}\frac k{10}, \beta=\sinh^{-1}\frac{k+1}{10}\\ &=\sum_{k=0}^9{\large\int}_\alpha^\beta 1\; du\\ &=\sum_{k=0}^9\; \sinh^{-1}\left(\frac{k+1}{10}\right)-\sinh^{-1}\left(\frac k{10}\right)\\ &=\sinh^{-1}1-\sinh^{-1}0&&\scriptsize\text{by telescoping}\\\\ &=\color{red}{\ln(1+\sqrt{2})}\qquad\blacksquare \end {align} $$