Sea $A^n$ sea un espacio afín sobre $\mathbb{C}$ y que $\mathbb{C}[X_1,\cdots,X_n]$ sea el anillo polinómico de $n$ variables. Entonces $A^n\to (\mathbb{C}[X_1,\cdots,X_n])^*$ por homomorfismo de evaluación, donde $(\mathbb{C}[X_1,\cdots,X_n])^*$ es el conjunto de homomorfismos de anillo de $\mathbb{C}[X_1,\cdots,X_n]$ à $\mathbb{C}$ . ¿Es este homomorfismo suryectivo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Un ejemplo de homomorfismo de anillo $\mathbb{C}[X_1,\ldots, X_n]\to \mathbb{C}$ que no es un $\mathbb{C}$ -es el mapa $\phi(P) = \overline{P(0)}$ . Esto no puede surgir de la evaluación, ya que los mapas de evaluación son $\mathbb{C}$ -homomorfismos de álgebra.
Por otra parte, como se explica en los comentarios, si $\psi\colon \mathbb{C}[X_1,\ldots, X_n]\to \mathbb{C}$ es un $\mathbb{C}$ -homomorfismo de álgebra, entonces $\psi$ viene determinada por los valores $\psi(X_i) = z_i$ y $\psi$ es el mapa de evaluación en el punto $(z_1,\ldots, z_n)\in \mathbb{A}^n$ .
Eineki
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No es suryectiva. Hay biyecciones $$\mathbb A^n\cong \textrm{Hom}_{\mathbb C\textrm{-Var}}(\textrm{Spec }\mathbb C,\mathbb A^n)\cong \textrm{Hom}_{\mathbb C\textrm{-Alg}}(\mathbb C[X_1,\dots,X_n],\mathbb C),$$ y este último es estrictamente contenía en $\textrm{Hom}_{\textrm{Ring}}(\mathbb C[X_1,\dots,X_n],\mathbb C)$ . Ahora bien, la forma en que se construyen los isomorfismos es precisamente mediante evaluaciones. Por tanto, la evaluación no se puede proyectar sobre el conjunto de anillo homomorfismos.
