Todo grupo soluble de orden sesenta tiene un subgrupo normal de orden cinco

Question

Quiero demostrar que cualquier grupo soluble de orden sesenta tiene un subgrupo normal de orden cinco.

Recordemos que un grupo soluble es un grupo que tiene una serie normal en la que cada factor es abeliano.

Creo que puedo demostrarlo observando los subgrupos Hall del grupo. Sea $G$ sea un grupo soluble de orden sesenta. Sabemos que $60=2^2\cdot 3\cdot 5$ . Un divisor de Hall $d$ de $G$ es un divisor de $60$ tal que $\gcd(d, 60/d)=1$ y $H\leq G$ es un subgrupo Hall si el orden de $H$ es un divisor de Hall. En particular, sé que $5$ es un divisor de Hall de $G$ .

Ahora que $5$ es un divisor primo de $G$ Sé que $G$ tiene un $5$ -Subgrupo Sylow $S$ y también sé que su orden tiene que ser $5$ por el Teorema de Lagrange. Si puedo demostrar que $S$ es el único $5$ -Sylow subgrupo, entonces sé que es normal, y he terminado. No sé si este es el caso, y no sé cómo el hecho de que $G$ es solucionable ayuda.

Cualquier ayuda es apreciada, gracias.

Answer 1

Sea $K$ sea un subgrupo normal mínimo de $G$ ; $|K|$ es $2$ , $3$ , $4$ ou $5$ .

• Si $K$ tiene orden $3$ entonces $G/K$ tiene orden $20$ y tiene un 5-subgrupo de Sylow normal (por los teoremas de Sylow). La preimagen es un subgrupo normal de orden $15$ en $G$ . De nuevo, por los teoremas de Sylow, el subgrupo Sylow 5 es normal (en el subgrupo, y luego en todo el grupo).
• Si $K$ tiene orden $4$ , $G/K$ tiene orden $15$ y los argumentos anteriores son básicamente inversos. A saber, $G/K$ tiene un subgrupo normal de Sylow 5, tomamos la preimagen y obtenemos un subgrupo normal de orden $5$ otra vez.
• Si $K$ tiene orden $5$ Hemos terminado.

Lo que queda es el caso $K$ tiene orden $2$ y, por tanto $G/K$ tiene orden $30$ . Si el subgrupo Sylow 5 de $G/K$ es normal, entonces igual que arriba, $G$ tiene un subgrupo normal de orden $5$ (ya que el subgrupo Sylow 5 de un grupo de orden $10$ es siempre normal).

Eso significa que todo lo que queda es probar que un grupo $H$ de orden $30$ siempre tiene un subgrupo normal Sylow 5. Podemos proceder del mismo modo que antes: encontrar un subgrupo normal mínimo, mirar el cociente, etc. Los mismos argumentos demuestran $H$ tiene un subgrupo normal Sylow 5. [Gracias a @DerekHolt por mencionar este enfoque, que es pedagógicamente más limpio].

[ Versión original : Esto puede hacerse considerando la acción de $H$ sobre sí misma, por multiplicación por el derecho. Un elemento de orden $2$ actuará como una permutación impar, que muestra $H$ tiene un subgrupo normal de orden $15$ . Una vez más, terminamos observando que un grupo de orden $15$ siempre tiene un subgrupo normal Sylow 5].

He aquí un segundo enfoque, más casuístico, pero también más elemental:

Supongamos que $G$ no tiene un 5-subgrupo Sylow normal. Entonces tiene $6$ tales subgrupos, y un análisis caso por caso muestra que tiene $10$ Sylow 3-subgrupos. El recuento de elementos muestra entonces $G$ tiene $5$ Sylow 2-subgrupos. La acción de conjugación en estos Sylow 2-subgrupos incrusta $G$ en $S_5$ lo que significa $G\cong A_5$ contradiciendo la solvencia.