Mientras que estudia los números de Fibonacci, se me ocurrió este problema. Por supuesto $F_n = F_{n-1}+F_{n-2}$. Especie de estoy atrapado con el primer darse cuenta de cómo mostrar un número realmente no es un número Fibonacci. ¿Pensé que de alguna manera podía reescribir la suma $$F_n+\cdots+F_{n+7}$ $ en una especie de cambio de %#% de #% y $F_n$'s. podría alguien ayudarme a demostrar que la suma de 8 consecutivos números de Fibonacci no son un número de Fibonacci?
Gracias
Se puede demostrar por inducción que $$ F_n+\ldots+F_{n+7}=3\cdot L_{n+5}$ $ y que $$ F_{n+8} < 3\cdot L_{n+5} < F_{n+9} $ $ aplica para cualquier $n\geq 0$.
$L_n$ está parado para la $n$-ésimo número de Lucas, $L_n=\varphi^n+\overline{\varphi}^n$.
Tenemos que $$S:=F_n+\dots+F_{n+7}=F_{n+2}+F_{n+4}+F_{n+6}+F_{n+8}>F_{n+8}.$ $ pero en la otra mano $$F_{n+9}=F_{n+8}+F_{n+7}=F_{n+8}+F_{n+6}+F_{n+5}=\dots\\=F_{n+8}+F_{n+6}+F_{n+4}+F_{n+2}+F_{n}+F_{n-1}=S+F_{n-1}>S.$ $
En suma, esto significa que el $F_{n+8}<S<F_{n+9}$.
Pero la secuencia de Fibonacci streactly en aumento, así que no hay ningún número de Fibonacci entre $F_{n+8}$ y $F_{n+9}$, es decir, $S$ no es ningún número de Fibonacci.
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