Longitud de una curva implícita

Question

La topografía de un lago vacío viene dada por una función f(x,y)=z. Cada primavera el lago se llena de agua. La altura del agua viene dada por una constante z=c, donde c es una constante. ¿Qué longitud tiene la orilla del lago?

Lo que en realidad estoy preguntando es: ¿Hay alguna manera de calcular la longitud de una curva regular implícita?

Answer 1

Dado $f(x,y) = c$ y $C$ es la curva creada, debemos integrar $$\int_C ds$$ La forma paramétrica de hacerlo sería crear funciones $x=g(t)$ y $y=h(t)$ para describir la curva. Entonces debemos integrar $$\int_C \sqrt{\big(g'(t)\big)^2 + \big(h'(t)\big)^2}dt$$ Otra forma, que puede ser más fácil en ciertos casos, sería utilizar el Teorema de la Divergencia, como señala Raffaele. Definir $\mathcal R = \{(x,y):f(x,y)\le 0\}$ tal que $C = \partial R$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $[f_x,f_y]$ está en la dirección de $ds$ , por lo que tenemos $$\int_C ds = \int_C \frac{[f_x,f_y]}{||[f_x,f_y]||} \cdot ds=\iint_R \left[\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right] \cdot \frac{[f_x,f_y]}{||[f_x,f_y]||} dS $$ donde $dS$ es el diferencial de Área. En cualquiera de los dos casos, hay que encontrar alguna expresión para los límites, pero una de estas integrales puede ser más fácil que la otra.