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Dado an converge y an0 . Quiere encontrar {bn} , de tal manera que bn y anbn converge

La pregunta es como en el título.

Creo que {bn} debe ser alguna función de an . Estaba pensando en bn=1nan, pero no sé si bn se acerca al infinito. ¿Puede alguien dar alguna pista sobre lo que bn ¿debería ser?

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Hay N1<N2<N3< tal que

Nk+1n=Nk+1an2N.

Tome bn=2N/2 para Nk<nNk+1 (y todo lo que quieras para nN1 ). Entonces

Nk+1n=Nk+1anbn2N/2.

Por lo tanto, n=N1+1anbn=k=1Nk+1n=Nk+1anbn converge.

1 votos

¿Es eso k en lugar de N ?

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Creo que sí............

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@aud999 Lo siento, no lo había visto.

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Roger Hoover Puntos 56

Podemos suponer nNan=1 sin pérdida de generalidad, multiplicando cada elemento de {an}nN por una constante adecuada. Bajo este supuesto, podemos considerar la secuencia {bn}nN definido a través de: b0=c0=1,bn=1cn,cn=1n1m=0am. Desde nNan es convergente a 1 y tiene términos no negativos, {cn}nN es una secuencia con términos no negativos decrecientes a 0 , por lo que {bn}nN es divergente a + . También tenemos an=cncn+1 de la cual: anbn=cncn+1cn=(cncn+1)(cn+cn+1)cn2(cncn+1). De ello se deduce que: nNanbna0+2nN(cncn+1)=a0+2(1cN+1), de ahí la serie nNanbn es convergente a algún valor (a0+2) .

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¡¡¡¡¡Gracias, es bueno ver una solución alternativa !!!!!

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