Dado $\sum a_n$ converge y $a_n \ge 0$ . Quiere encontrar $\{b_n\}$ , de tal manera que $b_n\to \infty$ y $\sum a_nb_n$ converge

Question

La pregunta es como en el título.

Creo que $\{b_n\}$ debe ser alguna función de $a_n$ . Estaba pensando en $$b_n = \frac{1}{n\sqrt{a_n}},$$ pero no sé si $b_n$ se acerca al infinito. ¿Puede alguien dar alguna pista sobre lo que $b_n$ ¿debería ser?

Answer 1

Hay $N_1<N_2<N_3<\cdots$ tal que

$$\sum_{n=N_k+1}^{N_{k+1}}a_n\le 2^{-N}.$$

Tome $b_n=2^{N/2}$ para $N_k<n\le N_{k+1}$ (y todo lo que quieras para $n\le N_1$ ). Entonces

$$\sum_{n=N_k+1}^{N_{k+1}}a_n b_n \le 2^{-N/2}.$$

Por lo tanto, $\sum_{n=N_1+1}^\infty a_nb_n =\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=N_k+1}^{N_{k+1}}a_n b_n$ converge.

Answer 2

Podemos suponer $\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n=1$ sin pérdida de generalidad, multiplicando cada elemento de $\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ por una constante adecuada. Bajo este supuesto, podemos considerar la secuencia $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ definido a través de: $$ b_0=c_0=1,\qquad b_n = \frac{1}{\sqrt{c_n}}, \qquad c_n = 1-\sum_{m=0}^{n-1} a_m. $$ Desde $\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n$ es convergente a $1$ y tiene términos no negativos, $\{c_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es una secuencia con términos no negativos decrecientes a $0$ , por lo que $\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}$ es divergente a $+\infty$ . También tenemos $a_n = c_n-c_{n+1}$ de la cual: $$ a_n b_n = \frac{c_n-c_{n+1}}{\sqrt{c_n}} = \frac{\left(\sqrt{c_n}-\sqrt{c_{n+1}}\right)\cdot\left(\sqrt{c_n}+\sqrt{c_{n+1}}\right)}{\sqrt{c_n}}\leq 2\left(\sqrt{c_n}-\sqrt{c_{n+1}}\right).$$ De ello se deduce que: $$ \sum_{n\leq N} a_n b_n \leq a_0 + 2\cdot\sum_{n\leq N}\left(\sqrt{c_n}-\sqrt{c_{n+1}}\right) = a_0 + 2\left(1-\sqrt{c_{N+1}}\right),$$ de ahí la serie $\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n b_n$ es convergente a algún valor $\leq\left(a_0+2\right)$ .