Existencia de una función de comportarse como $s^\beta$ por todas partes ($\beta\in(0,1)$)

Question

¿Existe una función $f:\mathbb R\to\mathbb R$ tal que \lim_{s\downarrow $$ 0} \frac{f(t+s)-f(t)} {s ^ \beta} = c, \quad \text{for cada} t\in\mathbb R, $$ donde $\beta\in(0,1)$ y $c\in\mathbb R\backslash \{0\}$?

Yo soy feliz si contesta la misma pregunta pero con una función continua no cero $c(t)$ en el lado derecho.

Answer 1

Suponga $c>0.$ Esta condición implica que el superior y el inferior derecho Dini derivados

$$D^+f(t) =\limsup_{s \to {0+}} \frac{f(t + s) - f(s)}{s}$$ $$D_+f(t) =\liminf_{s \to {0+}} \frac{f(t + s) - f(s)}{s}$$ se $+\infty$ todas partes en $[0,1].$ Esto contradice la Denjoy-Joven-Saks teoremaque dice que el conjunto de $t\in[0,1]$ satisfacción $D^+f(t)=D_+(t)=+\infty$ tiene medida cero.

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Para un más barato de la prueba, la primera nota que $f$ es de derecha continua y por lo tanto medibles. Deje $\lambda=2^{(1-\beta)/2}>1$ y definir conjuntos

$$S_\epsilon=\{t\in[0,1]\mid f(t+\epsilon)>f(t)+c\epsilon^\beta/\lambda\text{ and }f(t+2\epsilon)<f(t)+c(2\epsilon)^\beta \lambda\}.$$

Cada una de las $t\in[0,1]$ $S_\epsilon$ para todos lo suficientemente pequeño $\epsilon,$ así $\epsilon<\tfrac13$ tenemos $\mu(S_\epsilon)>\tfrac 2 3.$ El traducir $S_\epsilon-\epsilon$ a continuación, se ha de medir por lo menos $\tfrac13$$[0,1],$, por lo que hay un punto de $t\in S_\epsilon\cap(S_\epsilon-\epsilon).$ Esto da

$$f(t)+2c\epsilon^\beta/\lambda<f(t+\epsilon)+c\epsilon^\beta /\lambda<f(t+2\epsilon)<f(t)+c(2\epsilon)^\beta \lambda$$ lo que contradice $\lambda=2^{(1-\beta)/2}.$

Answer 2

El conjunto de puntos que verifican la condición es, de hecho, contables, de donde de Hausdorff de dimensión cero (y, en particular, de medida cero como ya se ha demostrado por Dap).

Sin pérdida de generalidad supongamos $c>0$. Como $\beta<1$ podemos optar $c_1<c<c_2$, de modo que $c_2< 2^{1-\beta}c_1$. Definimos para $t\in {\Bbb R}$: $$ \Delta_t = \sup \{ \delta>0: c_1s^\beta \leq f(t+s)-f(t)\leq c_2 s^\beta, \;\;\forall \; 0 \leq s\leq \delta \} $$ y, a continuación, para $n\geq 1$: $$ \Omega_n = \{ t\in {\Bbb R} : \Delta_t>\frac{1}{2^n} \}$$ Un punto de $t\in {\Bbb R}$ verificación de la condición debe pertenecer a algunos de los $\Omega_n$. Vamos a mostrar que cada una de las $\Omega_n$ es contable, demostrando nuestro reclamo.

Así que elija $t\in \Omega_n$$0<\epsilon < \frac{1}{2^{n+1}}$. Suponga que $t_1=t+\epsilon\in \Omega_n$. A continuación, con $s=\epsilon$ debemos tener: $$ c_1 s^\beta \leq f(t_1+s)-f(t_1) =(f(t_1+s)-f(t))-(f(t_1)-f(t)) \leq c_2(\epsilon+s)^\beta-c_1\epsilon^\beta$$ o con $s=\epsilon$ la desigualdad: $\;2c_1 \epsilon^\beta \leq c_2 (2\epsilon)^\beta < 2c_1 \epsilon^\beta$, una contradicción. Por lo tanto, los puntos de $\Delta_n$ tiene que tener al menos $2^{-(n+1)}$ separados y la conclusión de la siguiente manera.

Si $c$ es continuo o incluso discontinuo (pero finito y distinto de cero) la misma conclusión a la que sigue, ya que puede cubrir la posible $c$ valores contables muchos de los intervalos de los de arriba escriba $(c_1,c_2)$ $c_2<c_12^{1-\beta}$ y, a continuación, para cada uno de dichos intervalos contables muchos puntos puede comprobar el correspondiente criterio.