Todas las aplicaciones de AoC me he encontrado han sido en superior de nivel licenciatura o cursos de postgrado de matemáticas. ¿Hay cualquier resultados básicos de los cursos como Calc-III que (unbeknownst a estudiantes) se basan en AoC?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
BobaFret
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607
El axioma de elección puede ser utilizado para demostrar que la secuencia de definición de continuidad (para funciones reales de una variable real) es equivalente a la $\varepsilon$-$\delta$ definición. Si su libro de texto de cálculo demuestra que la continuidad secuencial implica epsilon-delta continuidad sin mencionar el axioma de elección, es hacer algo como esto:
. . . A continuación, para cada una de las $n\in\mathbb N,$ no es un número real $x_n$ tal que $|x_n-x_0|\lt\frac1n$ mientras $|f(x_n)-f(x_0)|\ge\varepsilon.$, con Lo que la secuencia de $x_n$ converge a $x_0,$ mientras $f(x_n)$ no converge a $f(x_0)$. . .
¿Ves donde he usado el axioma de elección?
DanV
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281
Aquí hay dos que se suelen ver en el primer capítulo de la mayoría de introducción al análisis de libros, y en muchos de los "quick set teoría de cobertura" del primer par de semanas:
Cada conjunto infinito tiene un countably subconjunto infinito. O, equivalentemente, un conjunto es finito si y sólo si cada subconjunto tiene menor cardinalidad. O, equivalentemente, un conjunto es infinito si y solo si hay una inyección que no es un surjection de que el juego en sí.
Usted necesita estrictamente menor que contables opción para probar esto, y aunque la norma y de fácil prueba de ello es el uso de un poco más. Pero ciertamente, esto no es comprobable, sin el empleo de la elección. No, incluso si estos son conjuntos de reales.
El contable de la unión de conjuntos contables es contable. Así, incluso los números reales puede ser una contables de la unión de conjuntos contables elección si no mal lo suficiente.
Si es que hasta a mí, también me gustaría incluir una tercera, pero no estoy seguro de si se ajusta a sus criterios:
- Una función es surjective si y sólo si tiene un derecho inversa. Este es de hecho equivalente a completa elección, y se utiliza a menudo en el nivel básico cursos como matemática discreta y cosas por el estilo. Y tiene sentido, pero para conjuntos infinitos en general, usted todavía necesita elección.
Nilan
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5798
Un subconjunto acotado, cerrado, convexo de $\Bbb{R}^n$ tiene puntos extremos.
Asombroso que necesitamos (una versión más débil de) axioma de la opción para probar este hecho simple y esto tiene muchas aplicaciones. Por ejemplo: para resolver un programa lineal problema sólo necesita considerar los puntos extremos de la región factible.
Dachi Imedadze
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6
Ya se mencionó en la respuesta por @Asaf Karagila:
El Axioma de Elección es necesaria para demostrar un hecho básico de la escuela primaria de teoría de conjuntos, comúnmente utilizado en el cálculo:
Deje $f : A \to B$ ser un surjection. A continuación, $f$ tiene un derecho inversa, es decir, existe una función de $g : B \to A$ tal que $f \circ g = \mathrm{id}_B$.
Prueba:
Desde $f$ es surjective, $f^{-1}(\{y\})$ es no vacío para cada $y \in B$. Por lo tanto, $\{f^{-1}(\{y\}) : y \in B\}$ es una familia de vacío pares de conjuntos disjuntos. Usando El Axioma de Elección, elija $x_y \in f^{-1}(\{y\})$, y definir $g(y) = x_y$ por cada $y \in B$. Tenemos $f \circ g = \mathrm{id}_B$, por definición de $g$.
En contraste con esto, el conversar reclamación no requiere de Elección:
Deje $f : A \to B$ ser de derecha es invertible. A continuación, $f$ es surjective.
Prueba:
Desde $f$ es de derecha invertible, existe $g : B \to A$ tal que $f \circ g = \mathrm{id}_B$. Deje $y \in B$, y considerar la posibilidad de $g(y) \in A$. Tenemos $f(g(y)) = y$, por definición de $g$. Por lo tanto, $f$ es surjective.
Similar hecho de que $f$ es inyectiva si y sólo si es de izquierda invertible, también sigue sin Elección.
