Campos vectoriales y su vector tangente campos?

Question

Me pregunto si hay veces cuando la gente iba a llamar a un vector tangente campo simplemente por un campo de vectores?

No son estos dos conceptos diferentes? Por ejemplo, un campo de vectores asigna (decir) a cada punto de $\mathbb{R}^{n}$ exactamente en un punto de $\mathbb{R}^{n}$; mientras que un vector tangente campo asigna (decir) a cada punto de $x$ $\mathbb{R}^{n}$ exactamente en un punto del espacio de la tangente $\{ x\} \times \mathbb{R}^{n}$. Claramente, el campo de vectores de su rango en $\mathbb{R}^{n}$, pero el vector tangente campo de su rango en la tangente bundle $\mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n}$$\mathbb{R}^{n}$.

Answer 1

En todos los casos, se puede hablar de una sección de cualquier vector paquete de $p : E \to M$: es un mapa en el $s : M \to E$ tal que $p(s(x)) = x$ todos los $x \in M$. Por definición, un campo vectorial es una sección de la tangente bundle $TM \to M$, y así no hay necesidad de especificar que se trata de un "tangente vector de campo" porque ya está implícita.

En su caso, $M = \mathbb{R}^n$, y el espacio de la tangente $T_x\mathbb{R}^n$ en cualquier punto de $x \in \mathbb{R}^n$ es canónicamente identificado con $\mathbb{R}^n$ sí, en otras palabras, $T\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$. Esta es la razón por la que fueron capaces de decir "un campo de vectores asigna (decir) a cada punto de $\mathbb{R}^n$ exactamente en un punto de $\mathbb{R}^n$", porque sabes que cada espacio de la tangente es canónicamente identificado con $\mathbb{R}^n$, por lo que usted puede olvidarse de la primera coordenada de la simplicidad. Pero si quieres ser totalmente riguroso, entonces sí, de hecho, si usted tiene un campo de vectores $\xi$$\xi(x) = (x, \text{a vector})$.