Los mapas que preservar medida cero de la propiedad

Question

Considere la posibilidad de un mapa de $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ que es diferenciable (incluso por lo general suave). Si $B \subset \mathbb{R}^m$ tiene medida cero (medida de Lebesgue), entonces ¿qué tipos de mapas de $f$ satisfacer $A = f^{-1}(B)$ también tiene medida cero?

Para proporcionar un poco de contexto: tengo una propiedad $\mathcal{P}$ que mantiene en casi todas partes en $\mathbb{R}^m$; ahora quiero caracterizar la clase de mapas de $f$ tal que $\mathcal{P}(f(\cdot))$ mantiene casi en todas partes en $\mathbb{R}^n$

Answer 1

Yo estaba buscando una solución para el problema que usted está trabajando. Me he encontrado un interesante artículo sobre:

Ponomarev, S. P. - Inundaciones y preimages de conjuntos de medida cero.pdf

Se dice que, si una función es "suficientemente" suave y el rango de la matriz Jacobiana de satisfacer algunas de sus propiedades, a continuación, la preimagen también tiene medida cero.

Mejor,