La comprensión de que el producto en topológica de la K-teoría

Question

Pido disculpas de que este tal vez no sea adecuada para mathoverflow pero he luchado con esto desde hace unos días y llegar a desesperarse...

La reducción de K-grupo $\tilde{K}(S^0)$ de los cero esfera es el anillo de $\mathbb{Z}$ como el núcleo de el anillo de morfismos $K(S^0)\to K(x_0)$. La estructura de anillo en $K(S^0)$ $K(x_0)$ proviene del producto tensor $\otimes$ de vector de paquetes.

Si $H$ es la canónica de la línea de paquete de más de $S^2$ $(H-1)^2=0$ cuando el producto sale de $\otimes$. La periodicidad de Bott teorema establece que la inducida por el mapa de $\mathbb{Z}\left[H\right]/(H-1)^2\to K(S^2)$ es un isomorfismo de anillos. Por lo $\tilde{K}(S^2)\cong \mathbb{Z}\left[H-1\right]/(H-1)^2$, creo, y cada cuadrado en $\tilde{K}(S^2)$ es cero.

La reducción del producto externo da lugar a un mapa de $\tilde{K}(S^0)\to \tilde{K}(S^2)$ que es un anillo (?) isomorfismo (ver, por ejemplo, Hatcher Vector Haces y la K-Teoría, Teorema 2.11.) pero no todos los cuadrados en $\tilde{K}(S^2)$ es cero, entonces. ¿Cómo puede ser esto?

Aparte de que no entiendo la relación de $\otimes:K(X)\otimes K(X)\to K(X)$ y la composición del producto externo con el mapa inducida a partir de la diagonal mapa $K(X)\otimes K(X)\to K(X\times X)\to K(X)$.

Answer 1

Reducción de $K$-los grupos son los ideales de la norma $K$-grupos. $\tilde K(X) \subset K(X)$ es el ideal de la virtual-dimensión cero elementos.

En particular, la reducción de la K-teoría de la $\tilde K(S^2)$ no $\mathbb{Z}[H]/(H-1)^2$, sino más bien el ideal de esta generado por $(H-1)$. En particular, cualquier elemento de este grupo plaza a cero.

Además, el "exterior producto de" isomorfismo $f: \tilde K(X) \to \tilde K(X \wedge S^2)$, que es un isomorfismo, no es un anillo de mapa: toma un elemento $x$ hacia el exterior del producto $x \wedge (H-1)$. En su lugar, satisface $f(x) f(y) = (H-1) f(xy) = 0$. Esto es debido a que la suspensión está cubierto por dos contráctiles abrir subconjuntos, y así, todos los productos deben desaparecer.

Answer 2

El mapa de $K(X)\otimes K(X)\to K(X)$ inducida por $\otimes$, y la composición de la $K(X)\otimes K(X)\to K(X\times X)\to K(X)$ de la parte externa del producto y de la diagonal mapa coicinde. Sólo con ver lo que ambos hacen a un par de vector de paquetes de muestra de esto.