Demostrando que el valor absoluto de x es mayor o igual a $0$

Question

Mi Pregunta es:

Probar que para todo $x\in\mathbb{R}$, $|x|\geq\ 0$.

Esto es para una clase de teoría de conjuntos, donde sabemos que $\mathbb{R}$ es el conjunto de Dedekind cortes.

Para cada una de las $x\in\mathbb{R}$, podemos definir

$|x|$ = max{$x, −x$} = $x ∪ (−x)$

Para cualquier $x\in\mathbb{R}$, podemos definir

$−x$ = {$r\in\mathbb{Q} | (∃s > r) − s\notin\ x$}.

Definimos la relación binaria $<_\mathbb{R}$ R por

$x <_\mathbb{R} y$ fib $x\subset\ y$.

No estoy muy seguro de por dónde empezar para esto. Debemos considerar subconjuntos lugar? Se esta diciendo que $0$ es un subconjunto de a $|x|$?

Un Dedekind Corte es un subconjunto $x\subset\mathbb{Q}$ tal forma que:

$\emptyset\neq\ x\neq\mathbb{Q}$

$x$ es hacia abajo cerrado, es decir, si $q\in\ x$$r<q$, $r\in\ x$

$x$ no tiene ningún elemento más grande.

También, $0$ = {$r\in\mathbb{Q} | r < 0$}

Answer 1

Por definición, vamos a mostrar que cualquiera de las $0\subseteq x$ o $0\subseteq -x$.

Supongamos que $0\subseteq x$ no posee. Esto significa que existe una $s\in\mathbb{Q}$ tal que $s\notin x$ pero $s\in 0$ ($s<0$).
[Nota: Esto depende de tu definición de Dedekind corte. $s\in 0$ puede presentarse a $s\le 0$ si el otro convenio es usado.]

En este caso, para cualquier $r\in 0$, es decir, $r<0$ o $r\le 0$], tenemos $-s>r$. Por definición de $-x$, podemos ver que $r\in -x$, ya que el $-(-s)=s\notin x$. Por lo tanto $0\subseteq -x$.

Por lo tanto, $|x|\ge 0$.