Ayudar a explicar por qué "$f$ un ser finito.e" es necesario en un teorema.

Question

Un teorema de los estados

Deje $ϕ$ ser continua en $\Bbb{R}$, vamos a $f$ ser finito en $Ω$.e., a continuación, $ϕ∘f$ es medible si $f$ es medible.

La siguiente es la prueba de mi libro de texto.

Desde $ϕ$ se define en $\Bbb{R}$ y es continua, entonces $ϕ^{-1} (G)$ es un conjunto abierto si $G$ es abierto, por el Teorema 24. Ahora, dado cualquier conjunto abierto $G$, $(ϕ∘f)^{-1} (G)=f^{-1} (ϕ^{-1} (G))$ es medible desde $f$ es medible y $ϕ^{-1} (G)$ es abierto, lo que da $ϕ∘f$ es medible.

Mi pregunta es ¿por qué "$f$ ser finito en $Ω$.e." es necesario? La prueba no parece que el uso de esta condición. ¿Qué sucede si $f$ es infinita en un no-cero-medida subconjunto de $\Omega$? Gracias!

Answer 1

$\phi$ dijo estar definido en $\mathbb R$, lo $\phi \circ f$ es indefinida cuando $f$ es infinito. Por lo tanto esto no sería una "función en $\Omega$" a todos. No podemos tolerar medibles funciones indefinido en conjuntos de medida $0$, porque se pueden identificar dos funciones como siendo "el mismo" cuando difieren sólo en un conjunto de medida $0$, así que usted puede si usted desea asignar valores arbitrarios en un conjunto de medida $0$ para hacer su función definida en todas partes. Pero no podemos tolerar una función no definida en un conjunto de medida positiva.

Answer 2

Yo estaba perplejo en cosas similares el año pasado. De hecho esta es confuso para los nuevos estudiantes. La mayoría de los libros de texto sólo se apresuran a través de este con un puñado de palabras.

Primero vamos a observar algunas trivial diversión de los hechos, que son de gran ayuda. Supongamos $f$ está definido por todas partes en un conjunto $\Omega$.

1. $f$ es medible en cualquier subconjunto medible de $\Omega$.

2. Si $f$ también es medible en $\Omega'$, entonces f es medible en $Ω⋃Ω'$.

3. $f$ es medible si y sólo si $f$ es medible una.e. en $\Omega$.

4. Supongamos $g$ se define en $\Omega \backslash Z$ para algunos null set $Z$ $f=g$ $\Omega \backslash Z$ (en otras palabras $f=g$.e.), a continuación, $f$ es medible en $\Omega$ si y sólo si $g$ es medible en $\Omega \backslash Z$. Es decir, si dos funciones sólo difieren en un valor nulo, entonces su capacidad de medición en la naturaleza no tiene ninguna diferencia.

Lo que el teorema se quiere mostrar, creo, es que la medición de la $\phi ∘ f$ no tiene ninguna diferencia de $f$ en el conjunto de $\Omega$. Creo que este teorema se utiliza más tarde para demostrar otros teoremas que requieren $\phi ∘ f$ tener tal capacidad de medición. Es por eso que el teorema se tiene que asumir la $f$ finito de una.e., de lo contrario, $\phi ∘ f$ tienen diferente capacidad de medición de $f$.