¿Alguien conoce las matrices de Burnside?

Question

Para $G$ un grupo fino con clases de conjugación $C_1,\dots C_k$ introducimos las Matrices Burnside $A_r$ donde $1<r<k$ con entradas:

$$A_r := \Big(\sqrt{\frac{|C_t|}{|C_s|}}a_{rst}\Big)_{1\leq s,t\leq k} $$

donde

$$a_{rst} = \frac{1}{|C_t|} |\{(x,y) \in C_r\times C_s\ |\ xy\in C_t\}|$$

¿Alguien ha oído hablar de ellos? He estado tratando de encontrar más información sobre estas matrices. Incluso he comprobado entonces las obras recopiladas de William Burnside.

Tienen propiedades muy interesantes, principalmente son simulativamente diagonalizables por una matriz unitaria $V$ . Llamada a los vectores columna $v_s$ y definiendo:

$$ \chi_s (g) = \sqrt{|G| } \sum_{j=1}^k\frac{v_{sj}}{\sqrt{|C_j|}} \delta_{C_j}(g)\ 1\leq s\leq k $$

donde g es un elemento de $G$ y el delta es $1$ para $g\in C_j$ y si no, cero. entonces la matriz:

$$\big(\chi_s(C_t)\big)_{1\leq s,t\leq k}$$

es exactamente la tabla de caracteres de todas las representaciones irreducibles de $G$ .

Answer 1

Esta es la teoría básica del algoritmo Dixon-Schneieder para calcular la tabla de caracteres de los grupos finitos, que utilizan GAP y Magma. Las implementaciones originales utilizaban la aproximación en coma flotante para los números complejos, pero los métodos modernos realizan todos los cálculos en un campo finito ${\mathbb F}_p$ para algún número primo moderadamente grande $p$ y luego elevar los valores de los caracteres (que son sumas de raíces de la unidad) a los números algebraicos.