Una desigualdad con $a_n=\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2x}}}}_{n \text { times}}}$

Question

Deje que la secuencia de $(a_n)_n$ definido por $$a_n=\int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2x}}}}_{n \text { times}}}$$

1)Demostrar que $$\frac12 \leq a_n \leq \frac{1}{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n-1 \text { times}}} \; \forall n\geq 1$$

2)Encontrar el límite de la secuencia de $(a_n)_n$

Si pudiera encontrar una forma cerrada de la primera integral el problema sería bastante más fácil, por lo que hay una simplificación posible para estos iterada raíces?

Answer 1

$\sqrt{2+\sqrt{2 + ... +\sqrt{2}}} \to 2$ $n \to \infty$ , esto puede ser visto por la construcción de la secuencia $x_n = \sqrt{2 + x_{n-1}}$ y ajuste de $x_0 = \sqrt{2}$.

Las desigualdades, a continuación, siga por el hecho de que el integrando es la disminución en el $[0,1]$ junto con la identidad de arriba.

1) $a_n \geq 1/2$:

deje $f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2 + ... +\sqrt{2x}}}}$ $f_n(x)$ es la disminución en el $[0,1]$$a_n = \int_0^1 f_n(x) dx \geq \int_0^1 f_n(1) dx \geq 1/2$. como necesario, ya que la $\sqrt{2+\sqrt{2 + ... +\sqrt{2}}} \leq 2$ esta desigualdad puede ser visto por mis construcción desde la secuencia de $x_n$ arriba es monótona y acotada.

Answer 2

Por simplicidad, vamos a $${{c}_{n}}=\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}_{n\ \text{times}},$$ and clearly we have $0<c_1<c_2<\cdots <c_n<\cdots <2$.
Tenga en cuenta que el integrando es monótonamente decreciente. Por lo tanto, $$\frac{1}{{c_n}}\le a_n\le \frac{1}{{c_{n-1}}}.$$ Luego afirmación 1) se prueba, y 2) se sigue de que 1) ya que el $\lim_{x\to \infty}c_n = 2$.