Considerar en $\Bbb{R}$ la familia $\Sigma $ de todos los conjuntos de Borel que son simétricas w.r.t. el origen. Mostrar que $\Sigma $ $\sigma $- álgebra.

Question

Considerar en $\Bbb{R}$ la familia $\Sigma $ de todos los conjuntos de Borel que son simétricas w.r.t. el origen. Mostrar que $\Sigma $ $\sigma $- álgebra.

Contexto: Preparando para mi examen

Esfuerzo:

1. Para mostrar que $\Bbb{R}\in \Sigma $, tenga en cuenta que $\Bbb{R}$ es un conjunto de Borel que es simétrica w.r.t. para el origen.
2. Para mostrar que $A\in \Sigma \Rightarrow A^c\in \Sigma $, suponga $A\in \Sigma $. A continuación, $A=B\cup -B$ algunos $B\in\mathcal{B}([0,\infty ))$. A continuación,$A^c=B^c\cap (-B)^c$. ¿Cómo puedo demostrar que esto se puede escribir como $B' \cup -B'$ donde $B'\in\mathcal{B}([0,\infty))$ ?
3. Mostrando que $\Sigma$ es estable bajo contables sindicatos parece claro para mí.

Answer 1

Otra forma de decir "$A$ es simétrica respecto al origen" es "$\forall x \in A, -x \in A$". Ahora si $A$ es simétrica respecto al origen y $x \in A^c$,$-x \in A^c$; por si teníamos $-x \not\in A^c$,$-x \in A \implies x \in A$, contradicción. Por lo tanto, $A^c$ es simétrica respecto al origen (y es Borel, siendo el complemento de un conjunto de Borel).

Si quería ir en su dirección, entonces usted puede simplemente tomar $B' = A^c \cap [0, +\infty)$; es de curso Borel, pero para demostrar $A^c = B' \cup -B'$ usted esencialmente habría que repetir el razonamiento de mi primer párrafo.

Answer 2

Para mostrar que $A\in \Sigma \Rightarrow A^c\in \Sigma $, es suficiente para mostrar que $$ \forall x\in A:-x\in Un \Longrightarrow \forall y\en A^c:-y\in A^c, $$ que es equivalente con la que muestra que $$ \forall x\in A:-x\in Un \Longrightarrow \forall y\no\: - y\no\en Una, $$ que es equivalente con la que muestra que $$ \existe y\no\en A:-y\in Un \Longrightarrow \exists x\in A:-x\not\in A. $$ Esta última afirmación si establecemos $x:=-y.$