Suma de $(-1)$ para el número de factores primos limitada?

Question

Definir una función $f:\mathbb{N}\to\mathbb{Z}$ $f(1) = 1, f(p) = -1$ para todos los primos p, y para todos los $x,y\in\mathbb{N},f(xy)=f(x)f(y)$.

Intenta demostrar que $\sum_{i=1}^{\infty}f(n)$ es no acotada.

Answer 1

Si $\sum_0^\infty a_n$ converge, entonces $a_n$ debe tender a $0$. Desde $f(n)$ claramente no tienden a $0$, su suma no convergen.

Answer 2

Consulte la página http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville_function

$f(x) = \lambda(x)$, De Liouville de la función lambda.

$\sum_{k=1}^n\lambda(k) = L(n)$ fue considerado por Pólya. Vemos la instrucción: $L(n) > 0.06\;\sqrt{n}$ para infinidad de $n$. Esto sin duda demuestra que la serie es no acotada.

Answer 3

El resultado citado en Wikipedia se refiere a un documento sobre la oscilación de teoremas por Anderson y Stark. No estoy seguro de que hay una manera más sencilla de probar esto que el uso de la analiticidad de la de la serie de Dirichlet $\sum_{n=1}^\infty \lambda(n)/n^s = \zeta(2s)/\zeta(s)$.

Si las sumas parciales de $\lambda(n)$ son acotados, luego la de Dirichlet de la serie converge para $\Re s > 0$ y puede ser delimitado muy bien en términos de $s$ el uso de Abel suma. Sin embargo, $\zeta(2s)/\zeta(s)$ tiene un polo en $s=1/2$. Idéntico argumento muestra que el $L(n) = \sum_{k=1}^n \lambda(n)$ no puede ser limitada por cualquier $O(n^{1/2 - \epsilon})$ función.