Un ejercicio de Liu sobre un haz de ideales (Capítulo II 3.4)

Question

Estoy bastante seguro de que hay un error y omisión en este ejercicio. Lee

"Vamos a $X$ ser un esquema y $f \in \mathcal{O}_X(X)$. Mostrar que $U \mapsto f|_U \mathcal{O}_X(U)$ por cada afín a abrir subconjunto $U$ define un haz de ideales de a $X$. Denotamos este haz de ideales de a $f \mathcal{O}_X$..."

Seguramente "afín" de arriba debe ser omitido, pero mi verdadera pregunta es

nos estamos perdiendo cualquier hipótesis en $f$?

Está claro que $f \mathcal{O}_X$ define un presheaf la satisfacción de la singularidad de la condición, es decir, si una sección global restringe a cero en todas partes en un abierto, entonces el elemento es idéntica $0$ $\mathcal{O}_X$ es una gavilla, para empezar. Sin embargo, en la comprobación de que se cumple el criterio relativo al encolado de las secciones locales,

no tenemos necesidad de la hipótesis de que la $f|_U$ no es un cero-divisor todos los $U$?

Esta es la única condición en la que yo soy capaz de conseguir el resultado. Me estoy perdiendo algo?

EDIT: por Favor, consulte a Martin Brandenburg la respuesta. Yo estaba equivocado. (Pero no fue un lamentable error, como el punto en el que me perdí merece una línea extra o dos de cualificación.)

Answer 1

"Sin duda "afín" de arriba debe ser omitido"

No! La presheaf $U \mapsto (f|_U)$ no es una gavilla en general. Pero los asociados gavilla se da en affine se abre por esta fórmula.

Este haz es mejor visto como un caso especial de general de construcciones (mientras que al hacer el ejercicio, directamente es innecesariamente engorroso). Deje $M$ ser un cuasi coherente gavilla en $X$ (en el ejercicio $M = \mathcal{O}_X$) y $f$ una sección global de $\mathcal{O}_X$. A continuación, $f$ induce un homomorphism $f : M \to M$. Es bien sabido que la categoría de cuasi coherente de las poleas es abelian, en particular, podemos construir la imagen de $f : M \to M$, que se denota por a $fM$, que es un cuasi-coherente subsheaf de $M$. Obviamente esta construcción es local en $X$. Si $X=\mathrm{Spec}(A)$ es afín, entonces hay una equivalencia de categorías entre cuasi coherente poleas en $X$ $A$- módulos, otorgado por la sección global functor. Esta equivalencia se conserva, en particular, de las imágenes.

Para general $X$ se sigue que para cada abierto afín $U \subseteq X$ el módulo de $\Gamma(U,fM)$ es la imagen de $f|_U : \Gamma(U,M) \to \Gamma(U,M)$, es decir,$\Gamma(U,fM) = f|_U \cdot \Gamma(U,M)$. Esto hace que no se mantenga para arbitrario abre $U$. En ese caso sólo tenemos $f|_U \cdot \Gamma(U,M) \subseteq \Gamma(U,fM)$. Lo contrario es cierto cuando $f$ es regular (es decir, $f : M \to M$ es un monomorphism), y esto es lo que han demostrado:

Si $s \in \Gamma(U,fM)$, existe un abierto que cubre $U = \cup_i U_i$ y secciones $t_i \in \Gamma(U_i,M)$ satisfacción $s|_{U_i} = f|_{U_i} \cdot t_i$. Tenemos $f|_{U_i \cap U_j} t_i|_{U_i \cap U_j} = f|_{U_i \cap U_j} t_j|_{U_i \cap U_j}$. Desde $f|_{U_i \cap U_j}$ es regular, esto muestra $t_i|_{U_i \cap U_j}=t_j|_{U_i \cap U_j}$, es decir, el $t_i$ pegamento para una sección de $t \in \Gamma(U,M)$ satisfacción $s = f|_U \cdot t$.

Tal vez alguien puede agregar un ejemplo para $\Gamma(U,f \mathcal{O}) \neq f|_U \cdot \Gamma(U,\mathcal{O})$ separado en una respuesta?