Supongamos $X$ $Y$ ambos están distribuidas normalmente, con $X \sim \mathcal{N}(0,1)$ $Y \sim \mathcal{N}(c,1),$ donde $c > 0$. Considere la posibilidad de $n$ independiente atrae tanto de $X$$Y$. Como $n \rightarrow \infty,$ ¿cuál es la probabilidad de que la muestra máxima de los sorteos de $Y$ es mayor que el máximo de $X$?
Respuesta
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He encontrado la respuesta, gracias principalmente a whuber del comentario. Deje $M_y$ $M_x$ denotar la muestra maxima de $Y$$X$, respectivamente. Versiones a escala de la $M_y$ $M_x$ son tanto Gumbel distribuido [fuente 1], y la diferencia entre dos Gumbels es la logística [fuente 2]. En concreto, se han
$$\sqrt{2 \ln n}~(M_y-M_x-c) \stackrel{d}{\rightarrow} \mathcal{L}(0,1),$$
donde $\mathcal{L}(0,1)$ denota la logística de distribución de la ubicación de $0$ y la escala (desviación estándar) $1$. A partir de la aproximación habitual, tenemos por lo tanto, tienen
$$(M_y-M_x) \approx \mathcal{L}\left(c,\frac{1}{\sqrt{2 \ln n}}\right).$$ El uso de la cdf de la logística de distribución [fuente 2], obtenemos
$$P(M_y > M_x) \approx \frac{\exp\left(\sqrt{2\ln n}\times c\right)}{1+\exp\left(\sqrt{2\ln n}\times c\right)}.$$
Esta aproximación fórmula implica que $P(M_y > M_x)$ hace converger a $1$, pero en una muy (!) el ritmo lento. Por ejemplo, si $n$ es igual a un millón y $c = 0.1$, la probabilidad es sólo $62.84$ por ciento.
Referencias:
Fuente 1 - http://sfb649.wiwi.hu-berlin.de/fedc_homepage/xplore/tutorials/sfehtmlnode90.html
Fuente 2 - http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_distribution
