La comprensión de la integral de línea

Question

Tengo algunos problemas para la comprensión de cada uno de los componentes de la integral de línea de la fórmula. Decir que tengo una curva de $c : [a,b] \mapsto \mathbb R^n$ y un escalar campo $f : \mathbb{R^n} \mapsto \mathbb{R}$.

De acuerdo a Wikipedia, la integral de la ecuación es entonces:

$$\int_c f \;ds = \int_a^b f(c(t)) |c'(t)| \;dt$$

Entiendo que $f(c(t))$ es el valor de la escalares del campo en cada punto de la curva, y que $\int_c ds = \int_c |c'(t)|\;dt$ es la longitud de la curva.

Cosas que no entiendo:

• ¿Qué es $|h(x)|$, en general? ¿Tiene algún significado fuera del contexto de la longitud del arco?
• Es el resultado de la integral de línea de la suma de todos los valores de $f$ a lo largo de la curva?...
• ... Si sí, ¿por qué debemos multiplicar $f$$ds$?

Answer 1

El lugar donde finalmente entendí la integración en varias dimensiones, fue Bachmann brillante libro Un Enfoque Geométrico de Formas Diferenciales, en particular las páginas 27-33. (esto expande en yoyo comentarios)

Básicamente, el término |c'(x)| llega cuando en realidad se trata de calcular cuál es la integral debe ser. La idea es que sea cual sea nuestra noción de integral, razonablemente se comportó de funciones y ámbitos debe ser aproximada por las sumas de Riemann (Si no recuerdo mal, que yo no podría, la insistencia de los dominios a submanifolds y las funciones continuo derivados hace que el Lebesgue y de Riemann integral coinciden, por lo que podemos utilizar cómodamente las sumas de Riemann).

Su suma de Riemann es, por supuesto, va a parecer a $\sum f(c(t_i))l(c(t_{i-1}),c(t_i))$ donde $l(c(t_{i-1}),c(t_i))$ es la longitud de la curva entre el$c(t_{i-1})$$c(t_i)$. Por simplicidad, vamos a $x_i=c(t_i)$. Calcular la longitud de la curva es duro, pero nos puede aproximar por la distancia lineal entre los puntos, es decir, debemos tener la $l(c(t_{i-1}),c(t_i))~|c(t_i)-c(t_{i-1})|$, por lo que las sumas de Riemann aproximar la integral debe parecerse a $\sum f(c(t_i))|c(t_i)-c(t_{i-1})|$.

Estas sumas, sin embargo, vivir en el $n$-dimensional espacio donde la curva de la vida. Si queremos reducir a una sola variable integral en el dominio, tenemos algo que se parece a $\sum g(t_i)(t_i-t_{i-1})$. Desde $c'(t_i)(t_i-t_{i-1})~c(t_i)-c(t_{i-1})$, por definición, vemos que todo lo que tenemos que hacer es establecer $g=f\circ c \cdot |c'|$, lo que haría que las dos sumas de Riemann $\sum f(c(t_i))|c(t_i)-c(t_{i-1})|$ $\sum f(c(t_i))|c'(t_i)|(t_i-t_{i-1})$ está de acuerdo en el límite (esto debe ser comprobado; es un buen ejercicio para poner a prueba la comprensión de las propiedades de convergencia). En el lado izquierdo usted consigue lo que debe ser la integral de la curva de $\int _c f$, y en el lado derecho de obtener la integral de la $\int_0^1f\circ c\cdot |c'|$.

La moraleja de la historia es que en el fin de integrar (de esta manera) necesitamos la información adicional acerca de cómo medir la lineal diferencias $c(t_i)-c(t_{i-1}$. El lineal diferencias, sin embargo, son esencialmente los vectores (viven en $\mathbb R^n$) por lo que necesitamos una función que toma un vector y escupe un número real. Además, en el orden de las sumatorias a un acuerdo en el límite, es necesario que la medición de la función de los desplazamientos positivos escalares, es decir,$\phi(\lambda v)=\lambda\phi(v)$$\lambda>0$, y es continua. Si estas dos propiedades son satisfechos, a continuación, en el límite de la función $\lambda$ se convierte en una función en el espacio de la tangente, es decir, la tangente vectores $c'(t)$. Un ejemplo de esta función es el $|\cdot|$ función, la cual es especificada por $ds$.

En general si $\phi$ transforma correctamente en el cambio de coordenadas (multiplicado por $|\det|$ o $\det$ de una transformación), se obtiene lo que se conoce como la densidad de formas diferenciales, respectivamente (siendo este último el de las funciones lineales de los vectores y por lo tanto más agradable trabajar con). Así que para responder a sus tres preguntas en este contexto:

• $|h(x)|$ es en realidad una función en el espacio de la tangente que al calcular una integral tiene para el plug-in de la derivada (vector tangente) $c'$
• El resultado de la integral depende de la densidad o diferencial de la forma en que usted ha elegido para integrar en contra. Si la integración en contra de la ds, entonces se puede interpretar el resultado como la "suma" de los valores de $f$, pero si la integración con respecto a decir, $dx$ o $dx+dy$, sería el "firmado suma de los valores de $f$, dependiendo de la dirección de la curva (por ejemplo, el signo de la integral cambia si cambia la dirección de la curva).
• Multiplicamos por $ds$ porque eso es lo que nos permite traducir la integral de la vida en el dominio de $\mathbb R^n$ a los que viven en la 1d de dominio de la curva. Por que eso es lo correcto a hacer, puede ser entendida desde intentando aproximar las integrales con las sumas de Riemann.

Recomiendo Bachman para una mejor exposición de las ideas fundamentales.

Answer 2

Generalmente si $a=(a_1,\ldots,a_n)\in\mathbb{R}^n$,$|a|=\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}$. Si la imagen de un vector $a$ como una flecha, a continuación, $|a|$ en el tiempo de la flecha. Al $|c'(t)|$ es igual a un cierto número, que significa $c(t)$ está moviendo ese número de veces tan rápido como $t$ está cambiando. Así que si uno piensa intuitivamente de $dt$ como un infinitamente pequeño incremento de $t$, $|c'(t)|\;dt$ es el correspondiente infinitamente pequeño movimiento a lo largo de la curva: la distancia es igual a la tasa de tiempos tiempo, y $|c'(t)|$ es la tasa de e $dt$ el (infinitamente pequeño). Por eso $|c'(t)|\;dt$ se identifica con $ds$, el infinitamente pequeño incremento de la longitud del arco.

Si se multiplica $f$ por una infinitamente pequeña distancia $ds$ se trasladó a lo largo de la curva, entonces la integral es la suma de aquellos. En la moderna y más lógico riguroso términos, si se multiplica el valor de $f$ a un punto de la curva por un incremento $\Delta s$ de la longitud del arco desde ese punto cerca de un punto, y agregar todos los de arriba y, a continuación, tomar el límite de $\Delta s$ enfoques $0$, se obtiene la integral. En mi opinión, la lógica rigurosa definición se justifica por su capacidad para capturar la intuición en la edad de la concepción, y la mayor intuitiva de la concepción por lo tanto debe ser recordado.

La fórmula que involucra la derivada de $c$ funciona al $c$ es continua y diferenciable a trozos. En qué medida la definición de la integral de línea, puede ir al $c$ no está tan bien educados es una pregunta que pueda tener algún examen.