Puede cada ideal de tener una mínima generación de set?

Question

Deje $I$ ser un ideal de un anillo conmutativo $A$ con la unidad. Qué $I$ tener una mínima generación de set?

A veces, soy capaz de calcular lo que son por ejemplo específico, pero parece que es cierto, en general, con algunos existencia de la prueba (supongo que es cierto para los no-conmutativa anillos con algunos adjetivos tales como "izquierda" o "derecha").

He pensado sobre el lema de Zorn, pero la generación de los conjuntos son muy propensos a ser incomparable (ni la existencia de límite inferior de cada cadena no estaba claro) y la intersección de todos los grupos electrógenos pueden ser demasiado pequeños para generar un ideal. No suena muy difícil, pero no parece claro qué hacer.

Answer 1

Considerar el anillo: $$\mathbb Q\left[\{x^{1/n}\}_{n\in\mathbb Z^+}\right]$$

El máximo ideal que consta de las expresiones con término constante cero, no tiene el mínimo conjunto de generadores - siempre se puede quitar cualquier elemento de un conjunto de generadores y todavía tiene un conjunto de generadores.

Demostrando esto no es del todo trivial. Está claro que la obvia conjunto de generadores no tienen un mínimo de generación de subconjunto, así que cualquier cosa que Zorn-como va a fallar.

Answer 2

Aquí es una ligera modificación de Thomas con su ejemplo, que es fácil de probar. Deje $R$ ser un quasilocal anillo con un valor distinto de cero idempotente ideal maximal $M$, por ejemplo, el anillo de Thomas solución localizada en su máximo ideal. A continuación, $M$ no tiene la mínima generación de subconjunto. Supongamos que al contrario que tenía un subconjunto $\{a_i\}$. A continuación, tenemos una expresión $a_j = \sum_i x_ia_i$ con cada una de las $x_i \in M$. La solución para $a_j$ (tenga en cuenta que $1-x_j$ es una unidad), podemos ver que puede ser escrito como una $R$-combinación lineal de los otros $a_i$'s, una contradicción.