Conjunto teórico de la definición de producto cartesiano de dos conjuntos

Question

Estoy tratando de estudio de las matemáticas de una manera rigurosa.Se menciona en el libro, en el capítulo de la teoría de conjuntos que el símbolo "$:$" significa la frase "tal que". A continuación, en el siguiente capítulo de las relaciones, el producto cartesiano de dos conjuntos de $A$ $B$ se define como sigue:

Si $A$ $B$ dos juegos, $A\times B =\{(a,b):\forall (a\in A , b\in B) \}$.

Si este simbólico definición se traduce en palabras, se lee:"El producto cartesiano de dos conjuntos de $A$ $B$ se define como el conjunto de todos los pares ordenados $(a,b)$ tal que para todos los $a$ pertenece a $A$ $b$ pertenece a $B$.

Mi preocupación es acerca de la última parte de la definición simbólica, es decir, "$:\forall (a\in A , b\in B)$". Si esto se traduce en palabras se lee "tal que para todos los $a$ pertenece a $A$ y todos los $b$ pertenece a $B$". Esto suena incompleto para mí.

Es esto correcto tanto matemáticamente y gramaticalmente? ¿No sería mejor para definir el producto cartesiano de a $A$ $B$ $A\times B =\{(x,y):(x,y)=(a,b)\forall (a\in A , b\in B) \}$ o, simplemente, como $A\times B =\{(a,b):a\in A , b\in B) \}$. Entre estos tres, que es correcta gramaticalmente así como una estricta matemáticamente?

Answer 1

El problema es que de variables libres. Cuando usted escribe $\{x : \varphi\}$, se espera que el $x$ es la única variable libre de $\varphi$ (no podría ser de los parámetros fijados de antemano).

Una vez que usted pone un cuantificador en $a$$b$, que no es libre, y la fórmula es ahora una frase que es "siempre la verdad" o "siempre falso". Así que el conjunto es todo o vacío.

Para agregar insulto a la injuria, $\forall(a\in A, b\in B)$ no es un bien formado fórmula para comenzar con. La coma, aunque no es un válido lógico símbolo es a menudo tomado para significar "y" en el generador de contexto.

Así que, de hecho, la forma correcta de escribir esto sería, como a los demás y a ti mismo han sugerido $$A\times B=\{(a,b): a\in A, b\in B\}.$$

Answer 2

Formalmente hablando (ya que se pide "un conjunto teórico de la definición de") el producto cartesiano no puede ser definida: se necesita su propio axioma en la teoría de conjuntos.

No se pueden definir conjuntos de fórmulas generales, de lo contrario se corre el riesgo de caer en una paradoja de Russell: $$ R = \{x\colon x \no \x\}. $$

Para evitar estos tipos de abrir definiciones sólo se puede definir subconjuntos con una fórmula, como en: $$ A = \{x \in B\colon \phi(x)\}. $$

Así que la definición propuesta (lo cual es correcto en la ingenua teoría de conjuntos) $$ A \times B := \{(a,b) \colon a \in a, b \in B\} $$ en realidad, no es una definición válida.

La solución es decir que $A \times B$ existe por supuesto (precisamente el axioma de emparejamiento en ZF y lo que es más importante, como se señaló en los comentarios, el axioma de juego de poder) y satisface la siguiente relación (actualizado): $$ x \in A \times B \ffi \existe un \a, \existe b\in B\colon x = (a,b). $$

(añadido) escribo aquí el bonito formal de la definición dada por @daniel-schepler en los comentarios: suponiendo que definen $(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}$, entonces en realidad usted diría $$ A \times B := \{ p \in \mathcal P(\mathcal P(a \cup B))\colon \existe un\a, \existe b\in B\colon p=(a,b)\}. $$

Answer 3

$$A \times B = \{(a,b): a \in A, b \in B\}$$

$A \times B$ es el conjunto de todos los pares ordenados $(a,b)$ donde $a$ pertenece a $A$ $b$ pertenece a $B$.

Answer 4

Esto se parece un poco a un error tipográfico. $A\times B =\{(a,b):\forall (a\in A , b\in B) \}$ no tiene sentido, su propuesta de solución $$ A\times B =\{(a,b):\en a , b\in B \} $$ es la solución correcta.

Tenga en cuenta que $A\times B =\{(x,y):(x,y)=(a,b)\forall a\in A , b\in B \}$ no es lo mismo!