Puede que la distancia entre los 2 no vacía de conjuntos de ser infinito?

Question

Intuitivamente lo haría inmediatamente asumen que no hay, pero eso no es cómo las cosas trabajan generalmente en matemáticas y teniendo en cuenta que hay diferentes tipos de infinitos no he sido capaz de encontrar la respuesta.

He aquí mi definición de la distancia entre 2 conjuntos:

$d(A,B) = \inf{\{||\vec a - \vec b||:\vec a \in A, \vec b \in B\}}$

Answer 1

La distancia entre dos conjuntos de un mismo espacio métrico se define como:

$$d(A,B) = \inf_{x\in A,\ y\in B} d(x,y)$$

Eso significa que si $x\in A$$y\in B$$d(x,y) \geq d(A,B)$.

Ahora, $d(x,y)$ es siempre finito en un espacio métrico para $d(A,B)$ debe ser demasiado.

Answer 2

Deje $x$ ser un elemento de $A$ y deje $y$ ser un elemento de $B$. Sabemos que $\|x-y\|$ es un número real $r$ $d(A,B)$ debe ser en la mayoría de las $r$ por la definición de $d(A,B)$, por lo tanto $d(A,B)$ es finito.