Propagador para la ecuación de Dirac en el espacio real

Question

Estoy interesado en el retraso propagador gratis sin masa de Dirac fermión, es decir, las soluciones de $ψ$ a la no homogénea de la PDE

$$ (∂_t- \nabla·\vec σ) ψ(x,t) = f(x,t) $$

con las condiciones de contorno

$$\quad ψ(x,t) \to 0 \text{ for } t \to -∞$$

donde $\vec σ = (σ_1,σ_2,σ_3)^T$ son las tres matrices de Pauli. (Las condiciones de contorno pueden ser aún más restrictivas, solo quiero que la solución a la decadencia lo suficientemente rápido en el infinito, de modo que se convierte en único y tiene una buena definición de la transformada de Fourier.)

Ahora, la solución de la ecuación de Dirac es un ejercicio estándar en prácticamente todos los QFT libro, pero todos los libros que yo he mirado sólo considerar la transformada de Fourier de la propagador.

Sin embargo, estoy interesado en el espacio real de la fórmula para el retraso propagador

Utilizando el retraso propagador de la ecuación de onda en $3+1$ dimensiones, podemos escribir

$$ ψ(x,t) = (∂_t + \nabla·\vec σ)(∂_t^2 - \nabla^2)^{-1} f(x,t) $$

$$ = (∂_t + \nabla·\vec σ) \frac1{4π·\text{something}}∫d^3x'dt' \frac1{|x-x'|}\delta(|x-x'|-|t-t'|) f(x',t')$$

pero esta fórmula me parece serio extraño: llevar a cabo la diferenciación con respecto a los $x$ $t$ va a diferenciar de la $\delta$-en función de la integral, lo que significa que la solución depende de los derivados de la función de $f$. Esto va en contra de la intuición de que un lineal de primer orden de la PDE debe depender de los valores iniciales directamente, y no en el tiempo y en el espacio de derivados!

Hay una referencia de donde puedo encontrar una discusión sobre el retraso propagador de la (sin masa) de la ecuación de Dirac en el espacio real?

Answer 1

El espacio real propagador de la enorme Dirac fermión en $3+1$ dimensiones se calcula en R. Feynman el libro de la Electrodinámica Cuántica (Conferencia 17, página 84 en la edición vinculada a).

El resultado es muy parecido a como se indica en la pregunta: en primer lugar resolver la ecuación de onda, entonces se diferencian de la solución con el operador de Dirac de nuevo. En particular, Feynman calcula el propagador de la de Klein-Gordon ecuación en el espacio real:

$$ I_+(t,x) = ∫ \frac{d^4p}{(2π)^4} \frac{\exp[-i(p\cdot x)]}{p^2 - m^2 + i\varepsilon} = -(4π)^{-1} \delta(s^2) + \frac{m}{8πs}H_1^{(2)}(ms)$$

Aquí, $s = +(t^2-x^2)^{1/2}$$t>|x|$$s = -i(x^2-t^2)^{1/2}$$t < |x|$. Por otra parte, $\delta(s^2)$ es una función delta y $H^{(2)}_1(ms)$ es una función de Hankel. Entonces, usted tiene que distinguir la función delta, de hecho.

Sin embargo, tenga en cuenta que para ser físicamente significativa, el propagador $G(x_2,t_2;x_1,t_1)$ para la ecuación de Dirac sólo debe tomar en cuenta la energía positiva de los estados para el retraso de tiempo de fotograma $t_2 - t_1 > 0$, mientras que la parte avanzada $t_2 - t_1 < 0$ sólo debe tomar en cuenta la energía negativa autoestados (agujeros).

Answer 2

tal vez usted ya ha pensado en ello, pero voy a preguntar de todos modos: ¿por qué no tratar de abordar directamente el operador diferencial: $\partial_t -\vec{\sigma}\cdot\nabla$ ? Es un primer orden de la PDE por lo que se podría conseguir algo del tipo: $$ \psi(x,t) = \psi_0(x,t) + \int G(x,x',t,t')f(x',t')\, dx'dt' \qquad \text{(1)} $$ Donde $\psi_0(x,t)$ es una solución de la ecuación homogénea y $G(x,x',t,t')$ es la solución de $$ (\partial_t -\vec{\sigma}\cdot\nabla)G(x,x',t,t') = \delta(x-x')\delta(t-t') $$

Ahora, se puede demostrar que la ecuación 1 puede ser echado en el formulario (ver Ref.): $$ \psi(x,t) = \psi_0(x,t) + \int dx' \int_{-\infty}^t G_1(x,x',t,t')f(x',t')\, dt' \qquad \text{(2)} $$

donde $G_1(x,x',t,t')$ es un objeto que satisfacer: $$ (\partial_t -\vec{\sigma}\cdot\nabla)G_1(x,x',t,t') = 0 $$

y por lo tanto debe ser menos torpe para resolver.

Referencia: métodos Matemáticos de la Clásica y la Física Cuántica, F. W. Byron y R. W. Fuller. Capítulo 7: el Tiempo-dependiente de funciones de Green: de Primer Orden