Límites inversos de grupos de unidades de un anillo.

Question

¿Puede alguien aclararme el siguiente isomorfismo descrito en "Exercises in Modern Algebra" del profesor A. Hattori (en japonés)?

Dejemos que $\lbrace R^{\mu} \rbrace$ sea un sistema inverso de anillos (con unidades.) Entonces $(\varprojlim (R^{\mu}))^{\times} \cong \varprojlim (R^{\mu})^{\times}$ se mantiene donde $^{\times}$ denota el grupo de unidades. La verificación de este hecho es fácil, por lo que se omite la prueba.

No pude encontrar una prueba, así que busqué en Google y encontré una del profesor Igusa (Corolario 2.7. de http://people.brandeis.edu/~igusa/Math101aF07/Math101a_notesBall.pdf ).

Sé que tengo que estar satisfecho con esto, pero no creo que la prueba sea "fácil": las técnicas utilizadas difícilmente encajan en los cursos de álgebra de primer año.

¿Hay algún truco fácil que el profesor Hattori tuviera en mente y que yo esté pasando por alto?

Answer 1

Si esto cuenta como un "truco fácil" depende de usted, pero el grupo de unidades es un functor $\text{Ring} \to \text{Grp}$ que tiene un adjunto izquierdo , es decir, la construcción de anillos de grupo. Cualquier functor con un adjunto izquierdo preserva los límites.

Answer 2

Es habitual en la demostración de la existencia de los límites inversos proporcionar una construcción concreta del límite inverso como un subringa del producto directo de los anillos del sistema que satisface las condiciones de transición apropiadas. Es decir, si $\varphi_{\mu\lambda}:R^\mu\to R^\lambda$ son los morfismos de transición del sistema,

$$\varprojlim R^\mu\cong\{(r^\mu):\underbrace{\forall\mu,\lambda,~\varphi_{\mu\lambda}(r^\mu)=r^\lambda}_{\text{transition conditions}}\}\subseteq \prod_\mu R^\mu. \tag{$\square$}$$

Utilizamos $\subseteq$ para denotar el subring de arriba. Es sencillo comprobar que el conjunto del medio es un subring; por comodidad nos referiremos a él como $L$ (por "límite").

Por si acaso, puedes convencerte de que (a) la asignación de grupos de unidades a anillos es functorial en este último, y (b) este functor distribuye a través de productos directos arbitrarios.

Si $(r^\mu)\in L$ es una unidad, entonces hay un $(s^\mu)\in L$ para lo cual $1_{L}=(1_{R^\mu})=(r^\mu)(s^\mu)=(r^\mu s^\mu)$ y, por tanto, la coordenada $r^\mu$ es invertible para cada $\mu$ . Por lo tanto, si $(r^\mu)\in L^\times$ entonces $(r^\mu)\in\prod_\mu (R^\mu)^\times$ ; pero como $(r^\mu)$ está en $L$ satisface las condiciones de transición y, por tanto, está contenido en el subgrupo de $\prod_\mu(R^\mu)^\times$ que es isomorfo a $\varprojlim(R^\mu)^\times$ según $(\square)$ (aunque trabaje en una categoría diferente, la idea funciona igual). Por el contrario, si $(r^\mu)$ está en el subgrupo designado de $\prod_\mu(R^\mu)^\times$ (que a su vez es un subconjunto de $\prod_\mu R^\mu$ ) que es isomorfo a $\varprojlim (R^\mu)^\times$ , entonces cada coordenada $r^\mu$ es una unidad en $R^\mu$ con la inversa digamos $s^\mu$ y así $(r^\mu)(s^\mu)=1_L$ muestra $(r^\mu)$ es invertible y en $L$ (de nuevo, ya que satisface los TC).

Así, la copia de $\varprojlim (R^\mu)^\times$ sentado en el interior $\prod_\mu(R^\mu)^\times$ sentado en el interior $\prod_\mu R^\mu$ es igual a las unidades de la copia de $\varprojlim R^\mu$ sentado en el interior $\prod_\mu R^\mu$ .