Grupos de automorfismo y grupos simétricos

Question

En la página de Wikipedia de automorfismo ; en los ejemplos primero afirma que en teoría de conjuntos, el automorfismo de un conjunto $X$ es una permutación arbitraria de los elementos de $X$ y éstos forman el grupo de automorfismo, también conocido como grupo simétrico, en $X$ . Sin embargo, en la página Automorfismos de los grupos simétricos y alternos , $ \operatorname{Aut}(S_n) = S_n $ excepto en los casos en que $n=1,2,6$ . Entonces, ¿es incorrecta la afirmación de la página de automorfismos cuando dice que todos los grupos de automorfismos en $X$ también se conocen como grupos simétricos, ya que no todos lo son cuando por ejemplo $X=S_n$ ?

Answer 1

Automorphism de un conjunto es una permutación arbitraria de elementos. Un automorphism de un grupo es la permutación de los elementos que conserva la operación, es decir,$\varphi(xy)=\varphi(x)\varphi(y)$. Ya que cada grupo de $G$ es un conjunto, se puede ver en dos posibles automorphism grupos: uno - $\operatorname{Aut}_{Set}(G)$ como un conjunto y el otro $\operatorname{Aut}_{Gp}(G)$ como un grupo. Cleraly $\operatorname{Aut}_{Gp}(G)\leq \operatorname{Aut}_{Set}(G)$, pero por lo general no son iguales.
Cuando se habla de grupos, la noción $\operatorname{Aut}(G)$ significa que el conjunto del grupo-automorphism de $G$.
En su caso, $\operatorname{Aut}(S_n)$ indica el grupo-automorfismos de a $S_n$, por lo que no hay contradicción con las declaraciones anteriores. Por CIERTO, no hay ningún problema con $n=1$, ya que el $S_1=\{id\}$$\operatorname{Aut}(S_1)=\{id\}$. Para ilustrar el problema en $S_2=\{id,(1,2)\}$, se observa que hay dos automorfismos de a $S_2$ un conjunto de: $$\begin{array}{c}id\mapsto id\\ (1,2)\mapsto(1,2)\end{array} \hspace{10pt} {\rm{and}}\hspace{10pt}\begin{align*}id &\mapsto (1,2)\\ (1,2)&\mapsto id\end{align*}$$ pero el derecho a la automorphism es no un grupo-automorphism, por lo tanto, sólo existe un grupo-automorphism de $S_2$.

Answer 2

En general, un automorfismo de un objeto $A$ es un morfismo $f\colon A\to A$ tal que existe un morfismo $g\colon A\to A$ tales que las composiciones $f\circ g$ y $g\circ f$ son ambos el morfismo identidad de $A$ .

Para pasar de este concepto abstracto a alguna situación concreta, hay que especificar qué tipo de objetos se habla y que morfismo es. Para los conjuntos (o como se dice: en la categoría Establecer ), un objeto es, por supuesto, sólo un conjunto y un morfismo es simplemente un mapa. Entonces un automorfismo de un conjunto $A$ es simplemente un mapa biyectivo arbitrario $A\to A$ .

En cambio, para los grupos (de la categoría Grupo ), los objetos son grupos y los morfismos son homomorfismos de grupo es decir, mapas que "respetan la ley de grupo". Por ejemplo, un automorfismo de un grupo asigna necesariamente el elemento identidad a sí mismo, mientras que una biyección (o "conjunto-automorfismo") no tiene por qué obedecer esta restricción.