¿Por qué no nos hablan de las derivadas parciales si el dominio no está abierta?

Question

En el libro por Guillemin & Pollack que definir una función $f$ a partir de un subconjunto abierto $U\subset R^n$ $R^m$a ser suave, si tiene derivadas parciales continuas de todos los pedidos. Luego dicen "sin Embargo, cuando el dominio de $f$ no está abierto, por lo general se puede hablar de derivadas parciales. (Por qué?)" Puede alguien explicar esto un poco más?

Answer 1

La definición de la $i$th en derivadas parciales es realmente como sigue: en un punto de $x = (x_1,\dots,x_n)$, podemos decir $$\left.\frac{\partial f}{\partial x_i}\right|_{x} = \lim_{t \to 0} \frac{f(x_1,\dots,x_{i-1},x_i+t,x_{i+1},\dots,x_n) - f(x_1,\dots,x_{i-1},x_i,x_{i+1},\dots,x_n)}{t}$$

Sin embargo, para que este límite para hacer sentido, $f$ tiene que ser definido a lo largo del $x + t(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ $t$ tal que $|t|$ es lo suficientemente pequeño. Es decir, $x + t(0,\dots,0,1,0,\dots,0)$ tiene que ser en $U$ $t$ lo suficientemente cerca como para $0$.

Una forma de garantizar que esta definición tenga sentido para cada punto de $x \in U$ es decir que por cada $x$, hay algunos $t$, de modo que el "cubo" $$(x_1-t,x_1+t) \times \cdots \times (x_n - t, x_n + t)$$ está contenida en $U$. Es decir, mientras $U$ está abierto, podemos hablar de derivadas parciales en todos los puntos.

Answer 2

En realidad, bajo algunas condiciones favorables hacer uno para funciones definidas en subconjuntos que no son abiertos (e incluso es muy útil).

Deje $A$ ser un subconjunto de a $R^n$ $f: A\to R$ ser una función tal que existe un subconjunto abierto $B$ $R^n$ (que contiene a $A$) tal que $f$ se extiende a una función derivable $F: B\to R$. Luego de definir las derivadas parciales de $f$ $A$ acaba de calcular derivadas parciales $D_iF$ y, a continuación, restringir $D_iF$$A$.

Por ejemplo, este aparece al integrar los campos vectoriales/formas diferenciales sobre curvas y superficies (especialmente cuando se utilizan Green y Stokes teoremas). También, cuando se habla de von Neumann valor en la frontera problema, uno habla de lo normal derivada de una función en la frontera de un dominio en $R^n$.

Un inconveniente de esta definición es que en algunos puntos de $a\in A$ los parciales, así definida, $D_if(a)$ podría depender de la extensión de $F$. (Para el de von Neumann BVP esto no es un problema ya que el límite es generalmente asumido para ser suave y, por lo tanto, la normal derivado es independiente de la extensión). Por ejemplo, si $A$ $x$- eje en el plano, a continuación,$D_xf(a)$, $a\in A$, no está bien definida. Mismo para el subconjunto $A$ que es la cuspidal de la curva de $y^2=x^3$. Esto está relacionado con una recompensa pregunta que se le pidió a MSE recientemente (tal vez voy a encontrar).

Answer 3

Lo mismo sucede con la costumbre de los derivados. Si usted trabaja en un intervalo cerrado, decir $[-1,1],$, entonces la función de $f(x)=\sqrt{1-x^2}$ $C^{\infty}$ $(-1,1).$ sin Embargo, no es $\require{cancel} \cancel{\textrm{derivable}}$ diferenciable en a $x=-1,x=1.$

Por lo tanto, si usted quiere tener derivados (derivadas parciales en dimensiones superiores), usted tiene que considerar la función definida en un mayor conjunto abierto, decir $(-1-\epsilon,1+\epsilon)$ algunos $\epsilon>0.$

En el ejemplo anterior se puede considerar $f(x_1,\cdots,x_n)\sqrt{1-x_1^2-\cdots -x_n^2}.$ Esto se refiere sólo a la función, pero puede suceder que algunos de los (parcial) de los derivados en cada una de (algunos de) los puntos de la frontera.