Gran pregunta. Esto está relacionado con lo que se conoce como características cardinales del continuo ; en concreto, está preguntando por el número dominante , $\mathfrak{d}$ - el menor tamaño de cualquier familia dominante (en sus términos, "familia cofinal"). Véase también http://mathoverflow.net/questions/29624/how-many-orders-of-infinity-are-there .
De hecho, podemos demostrar que $\mathfrak{d}$ es incontable, como sigue. Fijar cualquier conjunto contable $\{f_i: i\in\mathbb{N}\}$ de funciones en $\mathbb{N}$ . Ahora dejemos que $g$ definirse como $$g(n)=1+\sum_{i<n}f_i(n).$$ Es fácil ver que $g$ domina todos los $f_i$ .
A la inversa, tenemos claramente $\mathfrak{d}\le 2^{\aleph_0}$ . En presencia de la hipótesis de continuidad " $\aleph_1=2^{\aleph_0}$ Esto, por supuesto, determina $\mathfrak{d}=2^{\aleph_0}$ Sin embargo, podemos preguntarnos qué ocurre en el ausencia de la hipótesis del continuo.
La respuesta, quizá sorprendente, es: prácticamente cualquier cosa ¡! Es coherente con ZFC, por ejemplo, que $\mathfrak{d}=\aleph_1<2^{\aleph_0}$ .
Las cosas se ponen mucho más interesantes si nos preguntamos cómo $\mathfrak{d}$ puede interactuar con otros características cardinales del continuo, como:
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El más pequeño $\kappa$ tal que la unión de $\kappa$ -muchos conjuntos de medida cero no son de medida cero.
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El más pequeño $\kappa$ tal que existe una familia de $\kappa$ -muchas funciones no dominadas por una sola función (el "dual" de $\mathfrak{d}$ El número límite $\mathfrak{b}$ ).
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La menor cardinalidad de un familia máxima casi disjunta - una familia de subconjuntos infinitos de $\mathbb{N}$ que tienen intersecciones paritarias finitas, y es maximal con esta propiedad.
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Etc.
Cuando preguntamos por la comparación pares de las características cardinales del continuo, esto se entiende muy bien; véase el Diagrama de Cichon https://en.wikipedia.org/wiki/Cicho%C5%84%27s_diagram . Por ejemplo, aunque suenen muy similares, ZFC demuestra $\mathfrak{b}\le\mathfrak{d}$ y es coherente con ZFC que $\mathfrak{b}<\mathfrak{d}$ Así que hay una asimetría.
Cuando nos preguntamos por tres o más características cardinales a la vez, esto se pone muy difícil, y hasta hace relativamente poco se sabía muy poco; véase http://mathoverflow.net/questions/37188/consistency-results-separating-three-cardinal-characteristics-simultaneously .
EDIT: También has preguntado por la búsqueda de conjuntos dominantes. Bueno, ciertamente podemos tomar el conjunto de todas las funciones $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ , así que esto no requiere ningún poder axiomático real. Pero ¿qué pasa con las familias de cardinalidad mínima ? Bueno, aquí las cosas se ponen interesantes; por un lado, sin el axioma de la elección no podría sea cualquier familia dominante de cardinalidad mínima ( $\mathfrak{d}$ ¡podría ser indefinido)! Véase http://mathoverflow.net/questions/191545/cardinal-characteristics-without-choice . E incluso con AC, podemos demostrar que si $\mathfrak{d}<2^{\aleph_0}$ entonces cualquier familia dominante de cardinalidad mínima es realmente difícil de definir (por ejemplo, no Borel, y -suponiendo cardinales grandes- también no proyectiva) simplemente porque también lo es todo conjunto de cardinalidad entre $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}$ .
Así que no parece haber una respuesta realmente sólida a la pregunta "¿Qué tan difícil es encontrar no trivial familias dominantes", pero ciertamente "Bastante duro" es un buen comienzo.
En cuanto a las generalizaciones:
Ciertamente, el número dominante para $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ es sólo $\mathfrak{d}$ de nuevo. Dado $f: \mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ , dejemos que $f':\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}: n\mapsto\lceil f(n)\rceil$ . Entonces
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Cualquier familia dominante $\{f_i: i\in I\}$ de mapas $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es también una familia dominante $\{f_i: i\in I\}$ de mapas $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ .
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Mientras tanto, si $\{g_i: i\in I\}$ es una familia dominante de mapas $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{R}$ entonces $\{g_i': i\in I\}$ es una familia dominante de mapas $\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}$ .
Sin embargo, si miramos los mapas $\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ las cosas se complican mucho más. En primer lugar, tenemos que afinar nuestra noción de dominio de las funciones: por " $f<g$ "¿Queremos decir $$f(x)<g(x)\mbox{ for all but finitely many $ x $}$$ o $$f(x)<g(x)\mbox{ for all but boundedly-many $ x $}$$ o $$f(x)<g(x)\mbox{ for all but bounded-from-above many $ x $}$$ ¿o algo más?
Para jugar un momento, veamos el primer caso: $f<g$ si $f(x)<g(x)$ para todos los casos, excepto para un número finito de $x$ . En este caso, cualquier familia dominante debe tener un tamaño $>2^{\aleph_0}$ (por lo que el número hace cambio, bastante). Para ver por qué, dejemos $\{f_i: i< 2^{\aleph_0}\}$ sea cualquier familia de mapas continuo-múltiples de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ . Ahora construye $g$ tal que $g(x)>f_i(x)$ para un número infinito de $i$ como se indica a continuación: escriba $\mathbb{R}$ como una partición de conjuntos infinitos continuos $A_i$ y que $g(x)=f_i(x)+1$ para cada $x\in A_i$ . Ciertamente $g$ no domina $f_i$ - ¡esta es una diferencia con el argumento de que el número dominante original es incontable! - pero también claramente $f_i$ no domina $g$ .
Podemos utilizar argumentos similares sobre cualquier otra noción de dominación que se me ocurra. Sin embargo, las relaciones de la exactamente valores de los números delimitadores generalizados no está claro para mí. Por ejemplo;
Dejemos que $\le_0$ y $\le_1$ sean las ordenaciones en $\mathbb{R}^\mathbb{R}$ definidos de la siguiente manera: $f\le_0g$ si $f(x)\le g(x)$ para todos los casos, excepto para un número finito de $x$ y $f\le_1g$ si $f(x)\le g(x)$ para todos los casos, excepto para los limitados-desde-arriba-muchos $x$ . ¿Es coherente con ZFC que los números dominantes correspondientes sean diferentes?
Obsérvese el cambio de " $<$ " a " $\le$ ", que creo que es más natural por varias razones.
Estas características cardinales "superiores" se han estudiado un poco, aunque (por lo que sé) no de forma exhaustiva; véase por ejemplo http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/016800729500003Y .
