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Problemas de Integración numérica

Quiero analizar la siguiente integral cambiando σσ sobre el intervalo de [0,)[0,)

1σ10(y1/2)2y(1y)exp{[log(y1y)]22σ2}dy1σ10(y1/2)2y(1y)exp{[log(y1y)]22σ2}dy

Para un gran σσ, la adaptación de la cuadratura del método numérico de problemas (probablemente debido a la singularidad de el integrando en y=1y=1). Es allí una manera de evaluar?

He intentado también para estudiar su forma equivalente con el mismo método, a saber,

1σ0(t1)24t(t+1)2exp{(logt)22σ2}dt1σ0(t1)24t(t+1)2exp{(logt)22σ2}dt

dondet=y1yt=y1y, pero todavía tengo problemas numéricos y encontrar enormes diferencias entre las dos integrales, incluso para valores pequeños de a σσ.

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caverac Puntos 588

No estoy seguro de si está probando un numérica de rutina en particular, pero esto tiene una solución analítica. Llame

I(σ)=14σ+0dt (t1)2texp[ln2t2σ2]\etiqueta1I(σ)=14σ+0dt (t1)2texp[ln2t2σ2]\etiqueta1

Antes de continuar, tenga en cuenta que

+dx eαxex2/2σ2=eα2σ2/2+dx e(x2ασ2)2/2σ2=2πσ2eα2σ2/2

Ahora, volviendo al problema original, llame a u=lnt, por lo tanto

I(σ)=14σ+du (eu1)2eu2/2σ2=14σ+du (12eu+e2u)eu2/2σ2(2)=2π4[1eσ2/2+e2σ2]

3voto

Richard A Puntos 1745

Para la primera integral, usted querrá usar tanh-sinh de cuadratura. La cuadratura está diseñado para manejar las singularidades en los extremos, que no puede en general ser manejado bien por la baja de fin de Gauss-Konrod.

Para la segunda integral, dividir la integral en [0,1][1,), uso tanh-sinh de cuadratura en el primer y exp-sinh en el segundo.

Una implementación de tanh-sinh, exp-sinh, y sinh-sinh cuadratura de precisión arbitraria, se da aquí.

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