Problemas de Integración numérica

Question

Quiero analizar la siguiente integral cambiando $\sigma$ sobre el intervalo de $[0,\infty)$

$$\frac{1}{\sigma}\int_{0}^{1}\frac{(y-1/2)^2}{y(1-y)}\exp\bigg\{-\frac{\big[\log\big(\frac{y}{1-y}\big)\big]^2}{2\sigma^2}\bigg\}dy$$

Para un gran $\sigma$, la adaptación de la cuadratura del método numérico de problemas (probablemente debido a la singularidad de el integrando en $y=1$). Es allí una manera de evaluar?

He intentado también para estudiar su forma equivalente con el mismo método, a saber,

$$\frac{1}{\sigma}\int_{0}^{\infty}\frac{(t-1)^2}{4t(t+1)^2}\exp\bigg\{-\frac{(\log t)^2}{2\sigma^2}\bigg\}dt$$

donde$t=\frac{y}{1-y}$, pero todavía tengo problemas numéricos y encontrar enormes diferencias entre las dos integrales, incluso para valores pequeños de a $\sigma$.

Answer 1

No estoy seguro de si está probando un numérica de rutina en particular, pero esto tiene una solución analítica. Llame

$$ I(\sigma) = \frac{1}{4\sigma}\int_0^{+\infty}{\rm d}t~ \frac{(t-1)^2}{t}\exp\left[ -\frac{\ln^2 t}{2\sigma^2}\right] \etiqueta{1} $$

Antes de continuar, tenga en cuenta que

\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{+\infty}{\rm d}x~ e^{\alpha x}e^{-x^2/2\sigma^2} &=& e^{-\alpha^2\sigma^2/2}\int_{-\infty}^{+\infty}{\rm d}x~ e^{-(x -2\alpha\sigma^2)^2/2\sigma^2} \\ &=& \sqrt{2\pi \sigma^2}e^{-\alpha^2\sigma^2/2} \tag{2} \end{eqnarray}

Ahora, volviendo al problema original, llame a $u = \ln t$, por lo tanto

\begin{eqnarray} I(\sigma) &=& \frac{1}{4\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}{\rm d}u~ (e^u - 1)^2e^{-u^2/2\sigma^2}\\ &=&\frac{1}{4\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}{\rm d}u~ (1 -2 e^u + e^{2u})e^{-u^2/2\sigma^2} \\ &\stackrel{(2)}{=}& \frac{\sqrt{2\pi}}{4}\left[1 - e^{\sigma^2/2} + e^{2\sigma^2} \right] \tag{3} \end{eqnarray}

Answer 2

Para la primera integral, usted querrá usar tanh-sinh de cuadratura. La cuadratura está diseñado para manejar las singularidades en los extremos, que no puede en general ser manejado bien por la baja de fin de Gauss-Konrod.

Para la segunda integral, dividir la integral en $[0, 1]$$[1, \infty)$, uso tanh-sinh de cuadratura en el primer y exp-sinh en el segundo.

Una implementación de tanh-sinh, exp-sinh, y sinh-sinh cuadratura de precisión arbitraria, se da aquí.