¿Esto es una prueba válida de la contrapositive?

Question

La pregunta es la siguiente: si $a$ y $b$ son grupo distintos elementos, a continuación, o $a^2 \neq b^2$ o $a^3 \neq b^3$. Me parece difícil demostrar directamente, por lo que formulada la contrapositive para ser: si $a^2 = b^2$ y $a^3 = b^3$ y $a = b$.

La prueba es simple: Supongamos que $a^2 = b^2$ y $a^3 = b^3$. Entonces $a^3 = b^3 \Rightarrow a^2 = a^{-1}b^3 \Rightarrow a^{-1}b^3 = b^2$ que entonces implica que $\Rightarrow a^{-1}b^2 = b \Rightarrow a^{-1}b = e \Rightarrow b = a$.

¿Es esto correcto? Siento que hay un agujero en alguna parte.

Answer 1

Como han señalado los comentarios, que has hecho la prueba correctamente. ¡Buen trabajo! Aquí es cómo usted puede organizar los pasos en una sola cadena de igualdades: $$ un = un ^ 3a ^ {-2} = (a ^ 3)(a^2) ^ {-1} = (b ^ 3)(b^2) ^ {-1} = b ^ 3b ^ {-2} = b $$