Lógica, geometría y teoría de grafos

Question

_{[Siete años después, hice una edición de esta pregunta, ver más abajo].}

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Al profundizar en teoría de los topos y gavillas uno acabará descubriendo una "conexión profunda" entre lógica y geometría dos campos que, superficialmente, no tienen nada que ver.

¿Pero qué pasa si no tengo las habilidades o capacidades de profundizar en la teoría de topos y gavillas? ¿La conexión profunda entre la lógica y la geometría tiene que seguir siendo un misterio para mí para siempre?

¿A qué nivel de abstracción y sofisticación puede reconocerse esta conexión por primera vez?

¿Y qué analogías aparentemente superficiales tienen que ver realmente con esta "conexión profunda"?

• Lo que es bastante fácil de entender es que hay (i) un álgebra de lógica y (ii) un álgebra de geometría . Pero, ¿es este el núcleo de la "conexión profunda"?

• Lo que viene a mi mente, que tanto la lógica (el reino de las representaciones lingüísticas) como la geometría (el reino de las representaciones gráficas) tienen que ver con - representaciones . ¿Tiene esto alguna importancia?

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Editar:

También me pregunto si y cómo teoría de los gráficos puede relacionarse con la lógica y la geometría, o servir de conexión entre ellas, los vértices de los gráficos que representan objetos (en el sentido de la lógica), resp. puntos (en el sentido de la geometría), las aristas que representan frases , resp. segmentos de línea .

Si existiera esa "conexión profunda" de la lógica, la geometría y la teoría de grafos, la existencia y la importancia de los grafos planos podría aparecer bajo una nueva luz.

Además, he encontrado esto:

"A grandes rasgos, la teoría de categorías es la teoría de grafos con una estructura adicional estructura adicional para representar la composición" es un buen resumen de la conexión entre [la teoría de grafos y la teoría de teoría de grafos]. _{<a href="https://math.stackexchange.com/a/1239207/1792">Fuente</a>}

Así pues, las dos formas posibles de relacionar la lógica y la geometría (a través de las categorías/topos/tejidos, o de la teoría de grafos) están relacionadas entre sí.

Answer 1

Tanto la lógica como la geometría se ocupan de la información. La lógica se ocupa de la información sobre la verdad de los enunciados, y la geometría se ocupa de la información sobre la ubicación. Las tesis de Grothendieck conectan la lógica y la geometría en esta línea.

El caso más sencillo es el del topos de láminas sobre un espacio topológico: aquí el valor de verdad de cualquier proposición es un subconjunto abierto del espacio topológico. Así, la información sobre el valor de verdad de una proposición está relacionada con la información sobre el lugar en el que se encuentra en un espacio topológico.

Answer 2

Me pregunto si esta analogía va en la dirección correcta:

• Lógica se encuentra en el corazón de la teoría de conjuntos. En la teoría de conjuntos se pueden definir los números como clases de equivalencia de conjuntos wrt "que tienen una biyección", junto con un representante prototípico (por ejemplo $\{\{\}\}$ para todos los conjuntos con 1 elemento).

• En geometría se definen los números como clases de equivalencia de líneas wrt "tener la misma longitud", junto con un representante prototípico (por ejemplo, la línea $\overline{01}$ para todas las líneas de longitud 1).

  Otros representantes "naturales" (pero que son otros tipos de objetos) son:

  • el círculo con centro 0 que contiene 1

  • el propio punto 1.