¿Cómo mostrar un grupo es cíclico?

Question

Una pregunta si $\mathbb{Z}^*_{21}$ es cíclico.

Sé que el Grupo cíclico debe tener un generador que puede generar todos los elementos dentro del grupo.

Pero ¿este tipo de pregunta requiere me averiguar exhaustivamente un generador? ¿O hay ningún método más eficiente para determinar rápidamente si un grupo es un grupo cíclico?

Answer 1

Un grupo finito es cíclico si y sólo si, tiene exactamente un subgrupo de cada divisor de su orden. Así que si usted encuentra dos subgrupos del mismo orden, entonces el grupo no es cíclico y que puede ayudar a veces.

Sin embargo, $Z^*_{21}$ es un grupo más bien pequeño, así que usted puede comprobar fácilmente todos los elementos generadores.

Answer 2

Si un grupo abelian tiene elementos de orden $m$$n$, entonces también tiene un elemento de orden $lcm(m,n)$, por lo que es otra de las posibles vías para reducir el trabajo que tiene que hacer. Así, por ejemplo, si se va a encontrar un elemento de orden $4$ y uno de orden $3$ en su grupo, usted sabría que no tendría que ser un elemento de orden $12$, por lo que sería cíclico.

Resulta que hay un explícito caracterización de $\mathbb{Z}_n^{\times}$ que depende de la factorización de $n$; en el caso de que esto se convierte en $\mathbb{Z}_{21}^{\times} \cong \mathbb{Z}_3^{\times} \times \mathbb{Z}_7^{\times}$, por lo que una vez conocido este teorema, mostrando si este grupo es cíclico o no pasa a ser bastante fácil.

Answer 3

En la práctica, para mostrar $(\mathbf Z/n\mathbf Z)^\times$ no es cíclica puede buscar una "fake" raíz cuadrada de $1$, es decir, una solución al $a^2 \equiv 1 \bmod n$ $a \not\equiv \pm 1 \bmod n$. Entonces hay al menos dos subgrupos de orden $2$, por lo que este grupo no es cíclico.

Answer 4

Creo que este es el mismo como lo KCd dijo, pero voy a ser más específico. $Z^*_{21}$ contiene dos subgrupos de orden 2, es decir,$<8>$$<13>$. Sin embargo, para $Z^*_{21}$ a ser cíclica, se debe tener un único subgrupo de orden 2. Este hecho viene desde el teorema fundamental de la cíclica grupos:

Cada subgrupo de un grupo cíclico es cíclico. Por otra parte, si $|a| = n$, luego el orden de cualquier subgrupo de $<a>$ es un divisor de a $n$; y, para cada uno positivo divisor $k$$n$, el grupo de $<a>$ ha exactamente un subgrupo de orden k–a saber, $<a ^{n/k}>$. http://www.cs.earlham.edu/~seth/clase/math420/Cartera.pdf

En el contexto de su pregunta, hemos de aplicar este teorema suponiendo $Z^*_{21}$ es cíclico. A continuación, vamos a $a\in{Z^*_{21}}$ tal que $<a>=Z^*_{21}$. Por lo tanto $|a|=12$. Desde que 2 divide a 12, por el teorema fundamental de los grupos cíclicos, $<a>$ tiene exactamente un subgrupo de orden 2. Sin embargo sabemos que el $Z^*_{21}$ posee dos subgrupos de orden 2. Por eso, $Z^*_{21}$ no es cíclico.