Para $n\geq 1$ vamos a la enésima twin primer par $$(p_n,p_n+2).$$
Esta secuencia se inicia como $(3,5),(5,7)$, la próxima $(11,13)\ldots$. Tengo dos preguntas cortas acerca de los números primos gemelos y el infinito producto definido a partir de estos. ¿Puede aclarar mis dudas? Gracias de antemano.
Pregunta. Para $a_n=\frac{1}{p_n}+\frac{1}{p_n+2}$ puede ser justificada la convergencia de $$\prod_{n\geq 1}(1-a_n)=\prod_{n\geq 1}\frac{p_n^2-2}{p_n(p_n+2)}?$$
Mi intento: Desde $1>a_n\geq 0$ $\sum_{n\geq 1}a_n$ converge por Brun teorema (ver como referencia rápida de este sitio o, por ejemplo, Wikipedia) entonces el producto anterior es convergente a una constante c. Es un formalizado la prueba?
Pregunta. Es posible definir, al menos para $\Re s>1$ (la abscisa de convergencia absoluta) $$\tau(s)=\prod_{n\geq 1}(1-p_n^{-s})^{-1}?$$
Mi intento: Es correcto decir esto?: Así como la (clásica) de Euler producto $$\prod_{\text{p:prime}}(1-p^{-s})^{-1}$$ is defined as convergent for this abscissa of convergence $\Re s>1$ y el apoyo para el caso anterior, el caso de dos de los números primos es un subconjunto de la compatibilidad de Euler producto, entonces también hay convergencia, al menos, para este eje de abscisas.
Ejemplo. Por ejemplo, si dos productos anteriores (correspondientes preguntas anteriores) se puede definir, entonces podemos escribir por ejemplo $$\tau(2)=c\cdot\prod_{n\geq 1}\frac{p_n^3(p_n+2)}{(p_n^2-1)(p_n^2-2)},$$
donde estamos asumiendo la definición de los par $(p_n,p_n+2)$ como antes, y $c$ es el anterior citado constante después de la primera pregunta.
