¿Qué son exactamente las ecuaciones diferenciales parciales?

Question

Sé lo que son las ecuaciones diferenciales (ED), pero ¿qué son exactamente las ecuaciones diferenciales parciales (EDP)?

Conozco el Ecuación de Schrödinger es una EDP.

También busco una comprensión intuitiva. Además, ¿cuáles son los buenos recursos que explican las EDP para los principiantes?

Answer 1

Dado que la definición de la Wiki puede ser demasiado formal desde el punto de vista matemático para el PO, permítanme dar alguna intuición de la ecuación diferencial parcial empezando por el caso de primer orden.

En primer lugar, consideremos una ecuación diferencial ordinaria de primer orden $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} X = F(t,X) $$ donde $X$ toma valores en, digamos, $\mathbb{R}^n$ y $F(t,X)$ es alguna función continua de Lipschitz. (En otras palabras, se trata de un sistema dinámico.) Lo que dice es que nos dice cómo $X$ debe cambiar, en un instante en el tiempo $t$ , en función de la hora $t$ y el valor actual de $X$ . Esto es lo que llamamos un "punto de vista evolutivo".

El análogo de una ecuación diferencial parcial que es "evolutiva" es una ecuación para $X$ que ahora depende no sólo del tiempo $t$ sino también algunas coordenadas espaciales $(x_1, \ldots, x_N)$ sería algo así como

$$ \frac{\partial}{\partial t} X = F\left(t,x_1, \ldots, x_N, X, \frac{\partial}{\partial x_1} X, \ldots, \frac{\partial}{\partial x_N} X\right) $$

Ahora, tenemos que cómo $X$ debe cambiar en un instante en el tiempo $t$ y en la posición $(x_1,\ldots, x_N)$ se basa en una función no sólo de los valores de las coordenadas de $t$ y $(x_1, \ldots, x_N)$ sino también el valor de $X$ en ese punto del espacio-tiempo, y también el valor de sus derivadas direccionales espaciales en ese punto del espacio-tiempo.

Sin embargo, existe un punto de vista diferente para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Se trata del "punto de vista de las restricciones". Para ello consideramos la ecuación $$ X'' = F(s,X) $$ y tratar de resolverlo prescribiendo las condiciones de contorno $X(0) = f_1$ y $X(1) = f_2$ . Lo que debemos pensar es que la ecuación diferencial describe alguna "condición de compatibilidad" para un determinado sistema físico en estasis. Por ejemplo, la ecuación anterior puede utilizarse para describir la distribución de la temperatura a lo largo de una varilla que se mantiene a temperatura $f_1$ en un extremo y la temperatura $f_2$ en la otra. La ecuación dice que la segunda derivada de la función de temperatura depende de la característica física de la varilla en el punto $s$ así como la temperatura actual en ese punto $x$ . En otras palabras, las leyes de la naturaleza limita qué perfiles de temperatura son posibles.

Desde este punto de vista, también obtenemos un tipo de ecuaciones diferenciales parciales que describe una restricción. En este caso, la EDP suele escribirse como una expresión analítica que relaciona las distintas derivadas parciales de una función. Lo que esto dice es que, para la cuestión que estamos considerando, no todas las funciones son admisibles como soluciones. Que algunas ley (más frecuentemente una ley física) requiere que las únicas funciones admisibles que describen la situación (esto es una restricción) obedezcan a ciertas relaciones impuestas a sus coeficientes de Taylor hasta cierto orden $k$ en cada punto . En otras palabras, no se permite que la función se mueva a su antojo. Sus tasas de cambio entre las distintas direcciones están vinculadas.

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Dejando a un lado la intuición, la formulación matemática de una EDP puede enunciarse de forma relativamente sencilla.

A ecuación diferencial parcial es una ecuación que expresa una igualdad entre expresiones que implican derivadas parciales de una función dada. Más concretamente, tomando uno de los casos más sencillos, una ecuación diferencial parcial sobre una función escalar $u$ definido en algún subconjunto $U\subseteq \mathbb{R}^N$ es la ecuación $$ F(x,u,\nabla u, \nabla^2 u, \ldots , \nabla^k u) = 0 $$ donde $x\in U\subseteq \mathbb{R}^N$ son las variables independientes, $\nabla^ju$ son los tensores representando el $j$ -derivadas parciales del pliegue de $u$ ( $\nabla^2 u$ es la matriz hessiana, $\nabla u$ es el vector gradiente), y $F$ es una función $$ F: U \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^{N^2} \times \cdots \times \mathbb{R}^{N^k} \to \mathbb{R} $$ El número $k$ , el orden máximo de las derivadas que intervienen en la ecuación, se denomina "orden" de la ecuación.

Para algunos ejemplos sencillos:

• El transporte ecuación (o advección lineal ) son casos en los que $k = 1$ y donde $$ F(x,u,p) = V(x)\cdot p $$ donde $p\in \mathbb{R}^N$ y $V(x)$ es un campo vectorial en $U$ .

• El Laplace ecuación es cuando $k = 2$ y $$F(x,u,p,q) = \operatorname{trace} q $$ donde $p\in\mathbb{R}^N$ y $q\in \mathbb{R}^{N^2}$ se interpreta como un $N\times N$ matriz.

• El onda ecuación es cuando $k = 2$ y $$F(x,u,p,q) = \operatorname{trace} q - T^\dagger q T $$ donde $\dagger$ es la transposición de la matriz, $T$ es un vector con $\|T\|^2 > 1$

• El Schroedinger lineal La ecuación es también cuando $k = 2$ y $$F(x,u,p,q) = \operatorname{trace} q - T^\dagger q T - i T\cdot p $$ donde $T$ es un vector con $\|T\|^2 = 1$ . Si eliminamos el imaginario $i$ de la ecuación, terminamos con el calor lineal ecuación en su lugar. Nótese que necesariamente para la ecuación de Schrodinger necesitamos $u$ para tomar valores en el número complejo $\mathbb{C}$ por lo que su gradiente y su hessiano serán un vector de valor complejo y una matriz de valor complejo.

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Y ahora, una definición muy sofisticada (que va un poco más allá del "ámbito de los principiantes" que pedía el cartel original, pero que no deja de ser interesante):

A relación diferencial parcial (de la que una ecuación diferencial parcial es un tipo especial) para un haz de fibras $F$ sobre alguna variedad suave $M$ es un subconjunto $\mathcal{R}\subseteq F^{(r)}$ de la $r$ -el haz de chorros de $F$ en $M$ . A ecuación diferencial parcial es uno en el que $\mathcal{R}$ tiene codimensión 1. Para llevarlo al caso más simple definido por encima del corte: una clase de haces de fibras simples son los haces triviales $F = M\times N$ . Aquí $M$ es el dominio de las variables independientes (lo que es $U$ en la definición anterior). $N$ es el dominio de las variables dependientes (lo que es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ arriba, pero también podemos pensar en variables dependientes con valor vectorial que toman valores en, digamos, $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ Entonces tenemos lo que a veces se llama sistemas de ecuaciones diferenciales parciales). La página web $k$ -es, a grandes rasgos, el conjunto de todos los posibles $k$ -de orden de Taylor; en otras palabras, representa el espacio $\mathbb{R}\times \mathbb{R}^N \times \mathbb{R}^{N^2}\times \cdots \times \mathbb{R}^{N^k}$ del valor de la función y de todas sus derivadas (parciales) hasta el orden $k$ .

Entonces la única ecuación $F(x,u,p,q,r,\ldots,s) = 0$ la ecuación diferencial parcial, debe esculpir un subconjunto de codimensión 1 de $U \times \mathbb{R} \times \cdots \times\mathbb{R}^{N^k}$ . (Ver mi pregunta sobre MO para algunas discusiones tangencialmente relacionadas).

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Otras lecturas

• Sergiu Klainerman ensayo una versión abreviada de la cual apareció en el El compañero de matemáticas de Princeton . Asume un poco más que el principiante absoluto, pero no mucho más.

• Jürgen Jost Ecuaciones diferenciales parciales El libro de texto, aunque en general puede ser demasiado avanzado para el PO, tiene un breve capítulo introductorio titulado "¿Qué son las ecuaciones diferenciales parciales?", que también debería dar alguna intuición.

• Ka Kit Tung's Ecuaciones diferenciales parciales y análisis de Fourier - Una breve introducción es un libro de texto dirigido a estudiantes que hayan cursado un año de cálculo y un curso de ecuaciones diferenciales ordinarias. Tiene un primer capítulo decente en el que se repasan las EDO, y un segundo capítulo en el que se explican los orígenes físicos de las ecuaciones diferenciales parciales, al tiempo que se comparan y contrastan con las ecuaciones diferenciales ordinarias, que el OP entendía mejor. Este puede ser un primer libro razonable para que la OP lo consulte.

Answer 2

Versión para legos: Digamos que estás conduciendo por una carretera en dirección noreste. Quieres saber cuál es tu velocidad yendo sólo hacia el norte y no hacia el noreste (por alguna loca razón). Tomas la derivada parcial (para obtener tu velocidad) del norte, obtienes la velocidad de lo que ibas al norte. Así que la derivada parcial de f(x,y)=x²+y² en términos de x sería 2x, o 2 veces x, porque cuando es en términos de x, y se ve como una constante. Esto es como tomar la derivada de x²+1 o x²+4. Cuando se toma la derivada de una constante, ésta va a 0.

Versión impresionante: Las ecuaciones diferenciales parciales se utilizan a menudo para construir modelos de las teorías básicas de la física y la ingeniería. Por ejemplo, el sistema de ecuaciones diferenciales parciales conocidas como ecuaciones de Maxwell puede escribirse en de una tarjeta postal, pero a partir de estas ecuaciones se puede derivar toda la teoría de la electricidad y el magnetismo, incluida la luz. A diferencia de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias, que se basa en el existencia fundamental y el teorema de la unicidad", no hay un teorema único que sea central para el tema.