Investigaciones alrededor de un nuevo sistema de numeración

Question

Podemos suponer que vamos a crear un nuevo sistema de número de esencialmente dos imaginarios que no interactúan. (Además de esto, todas las cantidades son enteros) Por ejemplo, tenemos una $i_1$ e una $i_2$. Entonces podríamos decir

$$(a+b i_1)(c+d i_1) = ac + (ad + bc)i_1-bd$$

y, del mismo modo para $i_2$:

$$(a+b i_2)(c+d i_2) = ac + (ad + bc)i_2-bd$$

Sin embargo, para un sistema con $i_1$$i_2$:

$$(a+b i_1+c i_2)(d + e i_1 + f i_2)=$$
$$(ad + ae i_1 + af i_2) + (bd i_1 - be + 0i_1i_2) + (cd i_2 + 0i_1i_2 -cf)$$

Anteriormente, la clave de la cosa a destacar es que $i_1\cdot i_2 = 0$.

PREGUNTAS

Me pregunto si hay alguna idea o instrucción en matemáticas que dice que simplemente no puedo hacer esto. Sin haber trabajado, en general, los sistemas de números, me pregunto qué ideas que yo debería de saber acerca de cuando trato de crear un sistema como este.

Puedo crear este sistema si mis principales objetivos son realizar la suma, resta y multiplicación con estos números? También, si yo pongo la restricción adicional de que todos estos cálculos se llevan a cabo módulo un primo, ¿afectará esto el sistema?

Answer 1

Ten CUIDADO. Esta respuesta es tan malo como es posible que sea sin que contengan cualquier técnicamente declaraciones falsas. Ver a mi otra respuesta. Voy a dejar esto porque las referencias de anillo de teoría y cuaterniones son probablemente todavía útil.

---

Si $i_1 i_2=0$, $i_1$ $i_2$ son divisores de cero, y ninguno de ellos puede tener inversos multiplicativos (suponiendo que otras reglas habituales, tales como la asociatividad y $0x=0$ retención), así que lo que recibes no es un campo.

Usted obtener aún más divisores de cero en el hecho de que $i_1$ $i_2$ tiene la misma plaza sin ser de cada uno de los negativos: $(i_1-i_2)(i_1+i_2)=i_1^2-i_2^2=0$.

Es, sin embargo, un anillo, que le permite hacer la suma, la resta y la multiplicación como usted por favor. La división no siempre es posible, como en los enteros. Hay una muy rica y bien desarrollada de la teoría acerca de tales estructuras (buscar por "anillo de la teoría de la" o "álgebra conmutativa"); lo que tienen es una instancia particular de una de las forma más común de producir nuevos anillos, es decir, como coeficientes del polinomio anillos. Más específicamente, en la notación estándar de su anillo puede ser construido como $\mathbb R[X,Y]/\langle X^2+1, Y^2+1, XY\rangle$.

Claro que puedes usar la aritmética modular como base en lugar de $\mathbb R$. En notación estándar que le dará $\mathbb Z[X,Y]/\langle p, X^2+1, Y^2+1, XY\rangle$. Tenga en cuenta que usted puede conseguir aún más divisores de cero si $-1$ es ya una plaza en $\mathbb Z$ modulo $p$.

---

(Ah, me di cuenta de que la pregunta ya se ha especificado que la base de los números enteros en lugar de $\mathbb R$. Luego, por supuesto, no es un problema particular que no siempre se puede dividir, porque usted no puede hacer que incluso en $\mathbb Z$ sí. Nota, sin embargo, que incluso la división con resto (que funciona bien en la $\mathbb Z$) no tiene ningún agradable generalización a cualquier lugar donde hay divisores de cero).

---

También puede buscar en cuaterniones , que se las arregla para ser casi un campo por tener tres unidades imaginarias $i$, $j$, $k$, donde el producto de los dos es el tercero o de su negativa. A continuación, inversas, siempre existe, pero en el otro lado de la multiplicación ya no es conmutativa.

Answer 2

Um, cero las conclusiones de mi anterior respuesta. Usted meter en más problemas que la mera divisores de cero:

$$1 = (-1)\cdot (-1) = i_1^2\cdot i_2^2 = (i_1 i_2)^2 = 0^2 = 0 $$

así que todo se derrumba!

Mi observación de que lo que se obtiene es un cociente del anillo era técnicamente correcto, pero no me di cuenta de que el ideal $\langle X^2+1,Y^2+1,XY\rangle$ es sólo $\langle 1\rangle$ porque $$1 = 1\cdot(X^2+1) - X^2\cdot(Y^2+1) + XY\cdot(XY) $$de modo que el anillo cociente que se obtiene es en realidad el cero del anillo.

---

Si se le cae la regla de que $i_1\cdot i_2=0$ y en lugar de simplemente aceptar que los objetos pueden contener también algunos de los múltiples de $i_1 i_2$, entonces usted tiene una mejor oportunidad.

De hecho, si uno decide que la multiplicación no es conmutativa y $i_1 i_2 = -i_2i_1$ pero los números ordinarios conmuta con todo, con lo que se obtiene es exactamente el cuaterniones!