no es divisible por $1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}$ $n+2$

Question

$k$ es número impar.
Mostrar de arbitrario $n\in N$, no es divisible por $1^{k}+2^{k}+\cdots+n^{k}$ $n+2$

Answer 1

Como extraño $k$, $r^k+(n+2-r)^k$ es divisible por $r+n+2-r=n+2$

Poner $r=1,2,\cdots,n,n+1$ y sumando que obtenemos,

es divisible por $2\{1^k+2^k+\cdots +n^k+(n+1)^k\}$ $n+2$

Si divide a $(n+2)$ $(1^k+2^k+\cdots +n^k),$

dividirá $2\{1^k+2^k+\cdots +n^k+(n+1)^k\}-2(1^k+2^k+\cdots +n^k)=2(n+1)^k$

Answer 2

Esto es solo una sugerencia, en ninguna parte cerca de una respuesta completa. Para el especial caso de $k=3$, $1^3+2^3+3^3+4^3+ \cdot \cdot \cdot=(1+2+3+4+ \cdot \cdot \cdot)^2$. Tal vez podría ser para este caso y utilice inducción.

¿Cada cubo perfecto es la diferencia de dos cuadrados perfectos?