¿Cómo decirle a un anillo no es valoración discreto anillo?

Question

Supongamos que $K$ es un campo y $R=K[x,y]/(y^2-x^3)$. La pregunta requiere para mostrar la localización en $(x,y)$ no es un anillo discreto de la valuación.

Puedo encontrar el elemento de unidad en la localización es el polinomio una con un término constante no trivial. El la valuación debe determinarse por el valor en $x$ y $y$. Hay desde $x^3=y^2$ $3v(x)=2v(y)$. No sé cómo proceder desde aquí.

Answer 1

La observación de que la ecuación de $(y/x)^2 = y^2/x^2 = x^3/x^2 = x$ mantiene en el cociente campo de $R$. Esto demuestra que $y/x$ integral $R$. Pero $y/x$ no está en la localización de $R$$(x,y)$, por lo tanto, esta localización no es integralmente cerrado en su campo de fracciones, y por lo tanto no puede ser un D. V. R.

Como M Turgeon señala, esto es debido al hecho de que la curva de $C: y^2=x^3$ es singular en el origen. La función de $y/x$, a pesar de no pertenecer a el anillo local de $C$ en el origen, no tiene una singularidad ahí cuando restringida a $C$ - más bien, se comporta como $\sqrt x$. Esto ilustra el hecho de que cerca de un punto singular, hay "más" de las funciones que debería ser.

Answer 2

En lugar de resolver el OP del problema directamente, vamos a probar una proposición general y aplicarlo al problema. En la siguiente prueba, vamos a pedir prestada una idea de Hartshorne de la geometría algebraica.

Deje $A = K[x, y]$. Deje $f(x, y) \in K[x, y]$ ser un polinomio irreducible tal que $f(0, 0) = 0$. Vamos $\mathfrak{a} = (x, y)$, $\mathfrak{b} = (f(x, y))$. Desde $f(0, 0) = 0$, $\mathfrak{b} \subset \mathfrak{a}$. Deje $R = A/\mathfrak{b}$. Deje $R_{\mathfrak{p}}$ ser la localización de $R$$\mathfrak{p} = \mathfrak{a}/\mathfrak{b}$. Deje $\mathfrak{m}$ ser el ideal maximal de a $R_{\mathfrak{p}}$.

Deje $J_0(f) = (\frac{\partial f}{\partial x}(0),\frac{\partial f}{\partial y}(0))$. Consideramos que $J_0(f)$ $(1, 2)$- matriz. Vamos a probar que $R_{\mathfrak{p}}$ es un discreto valoración anillo si y sólo si rango a $J_0(f) = 1$. La OP del problema puede ser resuelto de inmediato por este resultado.

Definimos lineal mapa de $\theta\colon A \rightarrow K^2$ por $\theta(F) = (\frac{\partial F}{\partial x}(0),\frac{\partial F}{\partial y}(0))$. Desde $\theta(x) = (1, 0)$, $\theta(y) = (0, 1)$, $\theta$ es surjective. Desde $\theta(\mathfrak{a}^2) = 0$, $\theta$ induce un surjective lineal mapa de $\bar\theta: \mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2 \rightarrow K^2$. Desde dim$_K \mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2 = 2$, este mapa es un isomorfismo. A continuación, $\theta(\mathfrak{b})$ es isomorfo a $(\mathfrak{b} + \mathfrak{a}^2)/\mathfrak{a}^2$. Desde dim$_K \theta(\mathfrak{b}) =$ rango $J_0(f)$, rango $J_0(f) =$ dim$_K (\mathfrak{b} + \mathfrak{a}^2)/\mathfrak{a}^2$

Es fácil ver que $$\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 \approx \mathfrak{a}/(\mathfrak{b} + \mathfrak{a}^2)$$

Por lo tanto dim $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 +$ rango $J_0(f) =$ dim$_K \mathfrak{a}/\mathfrak{a}^2 = 2$.

Por lo tanto dim $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^2 = 1$ si y sólo si rango a $J_0(f) = 1$. Por Nakayama del lexema, esto es equivalente a que $\mathfrak{m}$ es prinicipal. Por lo tanto, esta es la equivalente a la $R_{\mathfrak{p}}$ es un discreto anillo de valoración(por ejemplo, Atiyah-MacDonald).